§7 立體幾何中的向量方法ⅰ——證明平行與垂直
(時間：45分鐘滿分：100分)
一、選擇題(每小題7分，共35分)
1. 已知空間三點a（0,2,3），b（-2,1,6），c（1，-1,5）若=，且a分別與垂直，則向量a為( )
a.(1，1，1)
b.(－1，－1，－1)
c.(1，1，1)或(－1，－1，－1)
d.(1，－1，1)或(－1，1，－1),
2.已知a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c與a及b都垂直，則m，n的值分別為
a.－1，2b.1，－2c.1，2 d.－1，－2
3.已知a＝，b＝滿足a∥b，則λ等於( )
abcd.－
4.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且bp⊥平面abc，則實數x，y，z分別為( )
a.，－，4b.，－，4
c.，－2，4d.4，，－15
5.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是( ),
a.a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)
b.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
c.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
d.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
二、填空題(每小題7分，共21分)
6.設a＝(1，2，0)，b＝(1，0，1)，則「c＝()」是「c⊥a，c⊥b且c為單位向量」的條件.
7.若|a|＝，b＝(1，2，－2)，c＝(2，3，6)，且a⊥b，a⊥c，則a
8.如圖，正方體abcd—a1b1c1d1的稜長為1，e、f分別是稜bc、dd1上的點，如果b1e⊥平面abf，則ce與df的和的值為 .
三、解答題(共44分)
9.(14分)已知正方體abcd－a1b1c1d1中，m、n分別為bb1、c1d1的中點，建立適當的座標系，
求平面amn的乙個法向量
10．(15分)如圖，已知abcd—a1b1c1d1是稜長為3的正方體，點e在aa1上，點f在cc1上，且ae＝fc1＝1.
(1)求證：e，b，f，d1四點共面；
(2)若點g在bc上，bg＝，點m在bb1上，gm⊥bf，垂足為h，求證em⊥面bcc1b1.
11．(15分)如圖所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab＝，af＝1，m是線段ef的中點．
求證：(1)am∥平面bde；
(2)am⊥平面bdf.
答案1. c 2. a 3. b 4. b 5. d
6.充分不必要 7. 8. 1
.9. 解以d為原點，da、dc、dd1所在直線為座標軸建立空間直角座標系(如圖所示).
,設正方體abcd—a1b1c1d1的稜長為1，則a(1，0，0)，m (1，1，)，n (0，，1)).∴,設平面amn的乙個法向量為n＝(x，y，z),
令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．
∴(－3,2，－4)為平面amn的乙個法向量．
10. 證明建立如圖所示的座標系，則＝(3,0,1)，
＝(0,3,2)，＝(3,3,3)．
所以=+，故，，共面．
又它們有公共點b，
所以e、b、f、d1四點共面．
(2)如圖，設m(0,0，z)，
＝，而＝， 由題設得=，得z＝1.
因為m(0,0，1)，e（3,0,1），所以＝(3,0,0)．
又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，
所以·＝0，·＝0，
從而me⊥bb1，me⊥bc.
又bb1∩bc＝b，
故me⊥平面bcc1b1.
11. 證明 (1)建立如圖所示的空間直角座標系，
設ac∩bd＝n，連線ne.
則點n、e的座標分別為
、(0,0,1)．
∴＝.又點a、m的座標分別是(，，0)、，，＝.
∴＝且ne與am不共線．∴ne∥am.
又∵ne平面bde，am平面bde，
∴am∥平面bde.
(2)由（1）知＝，∵d(，0,0)，f(，，1)，＝(0，，1)．
·＝0.∴⊥.
同理⊥，又df∩bf＝f，∴am⊥平面bdf.
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