§8.7 立體幾何中的向量方法（ⅰ）----證明平行與垂直
一、選擇題
1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則( )．
a．l1∥l2b．l1⊥l2
c．l1與l2相交但不垂直d．以上均不正確
答案 b
2．直線l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線的方向向量的是( )
a．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)
b．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)
c．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)
d．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)
解析兩直線垂直，其方向向量垂直，只有選項b中的兩個向量垂直．
答案 b
3．已知a＝，b＝滿足a∥b，則λ等於( )．
abcd．－
解析由＝＝，可知λ＝.
答案 b
4．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是 ( )．
a．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
b．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
c．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
d．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析若l∥α，則a·n＝0.
而a中a·n＝－2，
b中a·n＝1＋5＝6，
c中a·n＝－1，只有d選項中a·n＝－3＋3＝0.
答案 d
5．若平面α，β平行，則下面可以是這兩個平面的法向量的是( )
a．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)
b．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)
c．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)
d．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)
解析兩個平面平行時其法向量也平行，檢驗知正確選項為d.
答案 d
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數λ等於( )．
abcd.
解析由題意得c＝ta＋μb
＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴.答案 d
7．已知平面α內有乙個點a(2，－1,2)，α的乙個法向量為n＝(3,1,2)，則下列點p中，在平面α內的是( )
a．(1，－1,1b.
cd.解析對於選項a，＝(1,0,1)，則·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除a；對於選項b，＝，則·n＝·(3,1,2)＝0，驗證可知c、d均不滿足·n＝0.
答案 b
二、填空題
8．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則l1與l2的位置關係是_______．
解析 ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.
答案平行
9．平面α的乙個法向量n＝(0,1，－1)，如果直線l⊥平面α，則直線l的單位方向向量是s
解析直線l的方向向量平行於平面α的法向量，故直線l的單位方向向量是
s＝±.
答案 ±
10．已知點a，b，c∈平面α，點pα，則·＝0，且·＝0是·
＝0的_______．
解析由，得·(－)＝0，
即·＝0，亦即·＝0，
反之，若·＝0，
則·(－)＝0·＝·，未必等於0.
答案充分不必要條件
11．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，則平面abc的單位法向量是________．
解析設平面abc的法向量n＝(x，y，z)．
則即令z＝1，得∴n＝，
∴平面abc的單位法向量為±＝±.
答案 ±
12．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且bp⊥平面abc，則實數x，y，z分別為________．
解析由題知：⊥，⊥.
所以即解得x＝，y＝－，z＝4.
答案，－，4
三、解答題
13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
a，b，c.
解析因為a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
這時a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又因為b⊥c，
所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，於是c＝(3，－2,2)．
14.如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，m、n分別是c1c、b1c1的中點．求證：mn∥平面a1bd.
證明法一如圖所示，以d為原點，da、dc、dd1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系，設正方體的稜長為1，
則m，n，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，
於是＝，
設平面a1bd的法向量是n＝(x，y，z)．
則n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n，又mn平面a1bd，
∴mn∥平面a1bd.
法二 ＝－＝－
＝(－)＝，
∴∥，又∵mn與da1不共線，∴mn∥da1，
又∵mn平面a1bd，a1d平面a1bd，
∴mn∥平面a1bd.
15．如圖，已知abcda1b1c1d1是稜長為3的正方體，點e在aa1上，點f在cc1上，且ae＝fc1＝1.
(1)求證：e，b，f，d1四點共面；
(2)若點g在bc上，bg＝，點m在bb1上，gm⊥bf，垂足為h，求證：em⊥面bcc1b1.
證明 (1)建立如圖所示的座標系，則＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)．
所以＝＋，
故、、共面．
又它們有公共點b，
所以e、b、f、d1四點共面．
(2)如圖，設m(0,0，z)，
則＝，而＝(0,3,2)，
由題設得·＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.
因為m(0,0,1)，e(3,0,1)，所以＝(3,0,0)．
又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，
所以·＝0，·＝0，
從而me⊥bb1，me⊥bc.
又bb1∩bc＝b，
故me⊥平面bcc1b1.
16．如圖所示，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab＝，af＝1，m是線段ef的中點．
求證：(1)am∥平面bde；
(2)am⊥平面bdf.
證明 (1)建立如圖所示的空間直角座標系，
設ac∩bd＝n，連線ne.
則點n、e的座標分別為
、(0,0,1)．
∴＝.又點a、m的座標分別是(，，0)、
∴＝.∴＝且ne與am不共線．∴ne∥am.
又∵ne平面bde，am平面bde，
∴am∥平面bde.
(2)由(1)知＝，
∵d(，0,0)，f(，，1)，∴＝(0，，1)
∴·＝0，∴am⊥df.
同理am⊥bf.
又df∩bf＝f，∴am⊥平面bdf.
8 7立體幾何中的向量方法證明平行與垂直
8.7 立體幾何中的向量方法 證明平行與垂直 一 選擇題 1 若直線l1，l2的方向向量分別為a 2,4，4 b 6,9,6 則 a l1 l2b l1 l2 c l1與l2相交但不垂直d 以上均不正確 答案 b 2 直線l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線的方向向量的是 a s1 1,1...
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