廣東趙秀松
縱觀2010高考，幾何證明都是作為前三題中的一部分出現，屬於中低檔題，著重基本知識，邏輯推理能力的考察，其中線面平行，線線垂直，線面垂直，面面垂直還是高考考察的熱點，而向量法在的作用也越來越得到重視。本文就以上幾個方面作出分析，方便同學們複習參考。
一、線面平行
例1．（2010高考數學北京卷理17）如圖，正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直。ef//ac，ab=,ce=ef=1
（ⅰ）求證：af//平面bde；
分析：證明線面平行通常是根據線面平行的判定定理來證明，即
在平面內找一條直線和平面外的直線平行。
證明：（ⅰ）設ac於bd交於點g。
因為ef∥ag,且ef=1，ag=ag=1
所以四邊形agef為平行四邊形
所以af∥eg
因為eg平面bde,af平面bde,
所以af∥平面bde
點評：證明線面平行的方法一般有二：一是根據線面平行的判定定理來證明，即要證「線面平行」，先證「線線平行」，證明的時候注意運用中位線定理和平行四邊形對邊平行的特點；二是根據定義，直線和平面平行即直線和平面沒有公共點，常用解題思路為：。
練習1：已知空間四邊形abcd，p、q分別是△abc和△bcd的重心．
求證：pq∥平面acd.
證明：取bc的中點e，鏈結ae，
∵p是△abc的重心，
則ae∶pe＝3∶1.
∵q是△bcd的重心，鏈結de，
∴de∶qe＝3∶1.
∴在△aed中，pq∥ad.
又ad平面acd，pq平面acd.
∴pq∥平面acd.
二、線線垂直
例2．（2023年高考新課標卷理18)如圖，已知四稜錐p-abcd的底面為等腰梯形，abcd,acbd，垂足為h，
ph是四稜錐的高 ，e為ad中點
（1） 證明：pebc
分析：本題可根據可採用向量法來證明比較方便。
證明：以為原點， 分別為軸，
線段的長為單位長， 建立空間直角座標系如圖， 則
（ⅰ）設
則 可得
因為所以
點評：證明線線垂直的方法一般有二：一是綜合法，先證「線面垂直」，再證「線線垂直」；
二是向量法：建立空間直角座標系，得到相關量的座標，再根據，得出線線垂直。
練習2：如圖，在四稜錐p－abcd中，底面為直角梯形，ad∥bc，∠bad＝90°，pa⊥底面abcd，且pa＝ad＝ab＝2bc，m，n分別為pc，pb的中點
求證：pb⊥dm。
證明：因為n是pb的中點，pa＝ab，
所以an⊥pb.
因為pa⊥底面abcd，底面abcd為直角梯形，
所以pa⊥ad，ad⊥ab，所以ad⊥平面pab，
所以ad⊥pb，所以pb⊥平面admn.
因為dm平面admn，所以pb⊥dm.
三、線面垂直
例3．（2010高考數學安徽卷理18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，，，，為的中點.
(ⅱ)求證：平面；
分析：本題可根據線面垂直的判定定理來證明。
(ⅱ)證：由四邊形是正方形，有.又，
∴.而，
∴平面.
∴，.又，為的中點，
∴.∴平面，
∴.又，
∴.又，，
∴平面.
點評：證明線面垂直一般都是根據線面垂直的判定定理來證明的，即要證「線面垂直，先證線線垂直」，證明「線線垂直」時可採用綜合法或者向量法，而且注意，是要證明該直線和平面內兩條「相交」直線都垂直。
練習3.如圖所示，在斜邊為ab的rt△abc中，
過a作pa⊥平面abc，am⊥pb於m，an⊥pc於n，鏈結mn.
求證：pb⊥面amn.
證明：因為bc⊥平面pac，an面pac，
所以bc⊥an.又an⊥pc，bc∩pc＝c，
所以an⊥面pbc.
所以an⊥pb.又因為pb⊥am，am∩an＝a，
所以pb⊥平面amn.
四、面面垂直
例4．2010高考數學山東理（19）如圖，在五稜錐p—abcde中，pa⊥平面abcde，ab∥cd，ac∥ed，ae∥bc，∠abc=45。。ab=2，bc=2ae=4，三角形pab是等腰三角形。
（ⅰ）求證：平面pcd⊥平面pac
分析：本題可根據面面垂直的判定定理來證明。
（ⅰ）證明：因為abc=45°，ab=2，bc=4，
所以在中，
由餘弦定理得：，
解得，所以，即，
又pa⊥平面abcde，所以pa⊥，
又pa，所以，
又ab∥cd，所以，
又因為，所以平面pcd⊥平面pac；
點評：證明面面垂直一般有兩種方法：一是根據面面垂直的判定定理，要證「面面垂直，先證線面垂直」；二是證明兩平面所成的二面角為直角。
練習4．如圖，在四面體abcd中，cb＝cd，ad⊥bd，
點e、f分別是ab、bd的中點．
求證：平面efc⊥平面bcd.
證明：在△abd中，因為ad⊥bd，ef∥ad，
所以ef⊥bd.
在△bcd中，因為cd＝cb，f為bd的中點，
所以cf⊥bd.
因為ef平面efc，cf平面efc，
ef與cf交於點f，
所以bd⊥平面efc.
又因為bd平面bcd，
所以平面efc⊥平面bcd.
五、對2010高考幾何證明的反思與總結
1．綜觀2010高考試卷，幾何證明還是考察的重點和熱點，特別是提到的以上四個方面，當然還有證明面面平行和公垂線等；
2．注意掌握課本的基本定理和公理，並學會靈活運用，注意幾種「垂直」之間的區別和聯絡，其中「線線垂直」是關鍵；
3．向量在幾何證明中的作用日益顯著，所以理科的同學們一定要掌握好這一工具。
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