典型例題
例1 （2008福州）如圖7-5，ab是⊙o的弦，oc⊥ab於點c，若ab=8cm，oc=3cm，則⊙o的半徑為 cm．
圖7-5
分析：利用垂徑定理求得ac，再利用勾股定理求得半徑oa．
解：填5．
點撥：此類問題要利用垂徑定理構成直角三角形，再解直角三角形即可．
例2 （2008龍巖）如圖7-6，量角器外沿上有a、b兩點，它們的讀數分別是70°、40°，則∠1的度數為 ．
圖7-6
分析：先求得∠aob=30°，再利用同弧所對的圓周角等於圓心角度數的一半．
解：填15°．
點撥：此類問題的關鍵是要讀懂圖，能從量角器中找到已知的圓心角，再考慮同弧所對圓周角與圓心角的關係．
例3 （2008蕪湖）如圖7-7，已知點e是圓o上的點，b、c分別是劣弧ad的三等分點，∠boc=46°，則∠aed的度數為
圖7-7
分析：首先根據等弧可求得∠aod=3∠boc，其次求得∠aed．
解：填69°．
點撥：同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，一定要想到其餘各組量也相等．
例4 （2008濱州）如圖7-8，ab是⊙o的直徑，c是⊙o上的一點，若ac=8，ab=10，od⊥bc於點d，則bd的長為（ ）
圖7-8
a． b． c． d．
分析：先求得∠acb=90°，再用勾股定理求得bc，進而求得bd．
解：選b．
點撥：若圓中有直徑，則首先應想到直徑所對的圓周角為直角，從而出現直角三角形；本題就是找到直角三角形後，由勾股定理求得bc，再利用垂徑定理求得bd．
例5 （2008仙桃）如圖7-9，小明從半徑為5cm的圓形紙片中剪下40%圓周的乙個扇形，然後利用剪下的扇形製作成乙個圓錐形玩具紙帽（接縫處不重疊），那麼這個圓錐的高為（ ）
圖7-9
a．3cm b．4cm c．cm d．cm
分析：40%的圓周長4πcm就是圓錐底面圓的周長，可求其半徑，圓形紙片的半徑就是圓錐的母線長，再用勾股定理求解．
解：選c．
點撥：此類題目要理解清楚扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長等於圓錐底面圓的周長，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓錐的高、底面圓的半徑和母線構成直角三角形．
例6 （2008寧夏）已知⊙o1和⊙o2相切，兩圓的圓心距為9cm，⊙o1的半徑為4cm，則⊙o2的半徑為（ ）
a．5cm b．13cm c．9cm 或13cm d．5cm 或13cm
分析：若內切時，兩圓半徑差為9cm；若外切時，兩圓半徑和為9cm，再由一元一次方程求解．
解：選d．
點撥：首先要理解兩圓相切包含內切和外切兩種情況，其次要記清楚不同位置下的兩圓的圓心距與兩圓半徑的關係．
例7 （2008大連）如圖7-10，pa、pb是⊙o的切線，點a、b為切點，ac是⊙o的直徑，∠acb=70°．求∠p的度數．
圖7-10
分析：鏈結ob，先求得∠aob=140°，再利用四邊形內角和求得∠p．
解：鏈結ob
∴∠aob=2∠acb，∵∠acb=70°，∴∠aob=140°
∵pa、pb是⊙o的切線，∴pa⊥oa，pb⊥ob，
即∠pao=∠pbo=90°∵四邊形aobp的內角和為360°，
∴∠p=360°－（90°+90°+140°）=40°
點撥：若已知圓的切線，則應首先考慮到切線性質，從而得到直角，本題再利用同弧所對圓周角和圓心角的關係和四邊形的內角和即可使問題得到解決．
例8 （2008黃岡）已知：如圖7-11，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑的⊙o交bc於點d，過點d作de⊥ac於點e．
圖7-11
求證：de是⊙o的切線．
分析：鏈結od，證明de⊥od．
解：鏈結od，則od=ob ∴∠b=∠odb
∵ab=ac ∴∠b=∠c ，∴∠odb =∠c ，∴od∥ac，
∴∠ode=∠dec，∵de⊥ac ∴∠dec=90°
∴∠ode=90°即de⊥od，∴de是⊙o的切線．
點撥：若已知直線過圓上一點，則要考慮切線的判定定理，本題要注意到d在⊙o上這一隱含條件，作輔助線鏈結od，利用判定解決問題．
例9 （2008荊州）已知：如圖7-12-1，ab是⊙o的切線，切點為a，ob交⊙o於c且c為ob中點，過c點的弦cd使∠acd=45°，⌒ad的長為，求弦ad、ac的長．
圖7-12-1
分析：⌒ad所對圓心角∠aod=90°，用公式可求半徑，再利用rt△aod求ad；由rt△oab求ac．
解：鏈結oa、od（如圖7-12-2）
圖7-12-2
∵∠dca=45°，∵∠aod=90°，∴⌒ad的長為，
∴oa=od=，∴，
∵ab為⊙o切線，∴oa⊥ab，∴c為rt△aob斜邊中點，∴ac=oc=oa=
點撥：已知弧長，則要考慮弧長公式，自然要鏈結oa、od，易知∠aod=90，則用弧長公式和勾股定理可求ad，易知ac是rt△oab斜邊上中線，ac就等於半徑oc．
例10 （2008聊城）小亮家窗戶上的遮雨罩是一種玻璃鋼製品，它的頂部是圓柱側面的一部分（如圖7-13-1），它的側面邊緣上有兩條圓弧（如圖7-13-2），其中頂部圓弧的圓心在豎直邊緣上，另一條圓弧的圓心在水平邊緣的延長線上，其圓心角為90°，請你根據所標示的尺寸（單位：cm）解決下面的問題（玻璃鋼材料的厚度忽略不計，取3.1416）．
圖7-13-1圖7-13-2
（1）計算出弧所對的圓心角的度數（精確到0.01度）及弧的長度（精確到0.1cm）；
（2）計算出遮雨罩乙個側面的面積（精確到1cm2）；
（3）製做這個遮雨罩大約需要多少平方公尺的玻璃鋼材料（精確到0.1平方公尺）？
分析：（1）求弧ab的長度關鍵是要求得半徑和圓心角的度數，為此鏈結o1b；（2）遮雨罩乙個側面的面積等於扇形的面積+梯形的面積－扇形的面積；（3）這個遮雨罩的總面積包括頂部和兩個側面三部分．
解：（1）易知，連線，設弧的半徑為．
在中，由勾股定理得．解得．
由，得．∴弧的長（cm）．
（2）扇形的面積（cm2）．
扇形的面積（cm2）．
梯形的面積（cm2）．
∴遮雨罩乙個側面的面積
=扇形的面積+梯形的面積－扇形的面積
（cm2）
（3）遮雨罩頂部的面積（cm2）．
∴遮雨罩的總面積（cm2）（m2）．
∴製做這個遮雨罩大約需要2.2平方公尺玻璃鋼材料．
點撥：本題關鍵是要把生活中的遮陽罩問題抽象出數學模型，讀懂圖形，根據已知資料找到解決問題所需資料，逐步推進解決問題，背景具有現實的生活意義，所給數值接近現實，計算量較大，對學生計算和分析能力的考查起到了很好的作用．
例11 （2008威海）如圖7-14，點a，b在直線mn上，ab=11厘公尺，⊙a，⊙b的半徑均為1厘公尺．⊙a以每秒2厘公尺的速度自左向右運動，與此同時，⊙b的半徑也不斷增大，其半徑r（厘公尺）與時間t（秒）之間的關係式為r=1+t（t≥0）．
圖7-14
（1）試寫出點a，b之間的距離d（厘公尺）與時間t（秒）之間的函式表示式；
（2）問點a出發後多少秒兩圓相切？
分析：（1）t=5.5秒時兩圓的圓心a與b重合，以此為分界點分段進行研究討論；（2）對於兩圓相切可從第一次外切、內切、第二次內切、外切分情況進行研究．
解：（1）當0≤t≤5.5時，函式表示式為d=11－2t；
當t＞5.5時，函式表示式為d=2t－1．
（2）兩圓相切可分為如下四種情況：
①當兩圓第一次外切，由題意，可得11－2t=1＋1＋t，t=3；
②當兩圓第一次內切，由題意，可得11－2t=1＋t－1，t=；
③當兩圓第二次內切，由題意，可得2t－11=1＋t－1，t=11；
④當兩圓第二次外切，由題意，可得2t－11=1＋t＋1，t=13．
所以，點a出發後3秒、秒、11秒、13秒兩圓相切．
點撥：（1）隨著時間的增加，圓心a與b的距離由11厘公尺逐漸減小到0cm（t=5.5秒），隨後又逐漸增大，為此t=5.
5秒時的點為函式變化的分界點，分段考慮即可，此類問題的關鍵是找到特殊點。（2）由於⊙a的運動，兩圓經歷了由外離到內含，再由內含到外離，所有不同的位置關係，其中相切有四種情況，按形成順序考慮即可；同時又要注意⊙b的半徑隨時間的增加也在增大，此時刻⊙b的半徑大小，討論起來比較複雜，所有的情況討論全面比較困難，具有很好的區分度．
習題精練
一、選擇題
1．（2008麗水）如圖7-15是乙個「眾志成城，奉獻愛心」的圖示，圖示中兩圓的位置關係是（ ）
圖7-15
a．外離 b．相交 c．外切d．內切
2．（2008金華）如圖7-16，已知cd為⊙o的直徑，過點d的弦de平行於半徑oa，若∠d的度數是50°，則∠c的度數是（ ）
圖7-16
a．50b．40c．30° d．25°
3．（2008濟寧）如圖7-17，小紅要製作乙個高為8cm，底面圓直徑是12cm的圓錐形小漏斗，若不計接縫，不計損耗，則她所需紙板的面積是（ ）
圖7-17
a．60πcm2 b．48πcm2 c．120πcm2 d．96πcm2
4．（2008慶陽）如圖7-18，是⊙o的直徑，為弦，於，則下列結論中不成立的是（ ）
圖7-18
a． b． c． d．
5．（2008赤峰）如圖7-19，⊙o1，⊙o2，⊙o3兩兩相外切，⊙o1的半徑r1=1，⊙o2的半徑r2=2，⊙o2的半徑r3=3，則△o1o2o3是（ ）
圖7-19
a．銳角三角形b．直角三角形
c．鈍角三角形d．銳角三角形或鈍角三角形
6．（2008**）高速公路的隧道和橋梁最多．圖7-20是乙個隧道的橫截面，若它的形狀是以o為圓心的圓的一部分，路面ab=10公尺，淨高cd=7公尺，則此圓的半徑oa=（ ）
圖7-20
a．5 b．7 c． d．
7．（2008涼山州）如圖7-21，分別是⊙o的切線，為切點，是⊙o的直徑，已知，的度數為（ ）
圖7-21
a． b． c． d．
8．（2008南京）如圖7-22，⊙o是等邊三角形的外接圓，⊙o的半徑為2，則等邊三角形的邊長為（ ）
圖7-22
a． b． c． d．
初三數學複習圓的認識與證明
知識網路 考綱通鑑 理解圓及其有關概念，了解弧 弦 圓心角的關係，了解點與圓 直線與圓以及圓與圓的位置關係.了解圓的性質，了解圓周角與圓心角的關係 直徑所對圓周角的特徵.了解三角形的內心和外心.了解切線的概念 切線與過切點的半徑之間的關係 能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線.會計算...
專題複習圓的計算與證明
中考數學專題 圓綜合題 圓的綜合題是中考必考的一道大題，特別是證明圓的切線問題是中考的熱點。這類題型的一般解題思路是 要證相切，做輔助線連線圓心與切點自不必說，接下來就要考慮如何將半徑證明為是圓心到切線的距離，即 連半徑，證垂直 近年來中考基本只要求了這一種證明切線的思路，但是事實上證明切線有兩種方...
圓的證明與計算複習專題
圓中證明與計算1 例1 如圖，ab為 o的直徑，c為 o上一點，ad和過c點的直線互相垂直，垂足為d，且ac平分 dab 1 求證 dc為 o的切線 2 若 o的半徑為3，ad 4，求ac的長 變式一 如圖，ab是 o直徑，d為 o上一點，at平分 bad交 o於點t，過t作ad的垂線交ad的延長線...