教學目標
1．理解，掌握比較法證明不等式．
2．培養滲透轉化、分類討論等數學思想，提高分析、解決問題能力．
3．鍛鍊學生的思維品質（思維的嚴謹性、靈活性、深刻性）．
教學重點與難點
求差比較法證明不等式是本節課的教學重點；求差後，如何對「差式」進行適當變形，並判斷符號是本節課教學難點．
教學過程設計
（一）不等式證明的含義
師：前面我們已經學習了不等式性質．今天我們要以這些性質作為依據研究不等式證明．
什麼是不等式證明呢？
（板書）1．什麼是不等式證明
我們通過具體題說明．
例1 求證：（2x+1）（3x-2）＞（5x＋9）（x-2）．
這道題含量是什麼？
（學生遲疑，教師給以啟發）
師：同學們可以想一想恒等式證明的含義．
生：這道題含義是對任意實數x，這個不等式都成立．
（二）引入比較法證明不等式，理解、認識比較法
師：很好，那麼如何證明這個不等式呢？
（讓學生稍作思考）
生：求差．
（學生口述，教師板書）
證明：由於（2x＋1）（3x-2）-（5x+9）（x-2）
＝（6x2-x-2）-（5x2-x-18）
＝x2+16≥16＞0，
則（2x-1）（3x-2）＞（5x+9）（x-2）．
師：怎麼想到「求差」的呢？
生：以前比較兩個實數大小時曾經用過這種方法．
（學生回答雖較為膚淺，但教師仍應鼓勵並進一步引導學生思考）
師：在這裡用「求差」有什麼好處？
（學生思考片刻回答）
生：直接證這個不等式有困難，轉化為乙個一般式子與0比大小比較容易證明．
師：是的，在這裡，通過「求差」將不等問題轉化為恒等問題；將二個一般式子大小比較轉化為乙個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．
這種證明的依據又是什麼呢？
生：依據是a-b＞0 a＞b，所以要證a＞b，只要證a-b＞0．
師：這種證明的理論依據是a-b＞0 a＞b，由a-b＞0來推a＞b是證明不等式常用方種中的一種，叫比較法，這種比較法不妨稱作求差比較法．
（板書）2．不等式證明的常用方法（1）比較法（求差比較法）
（三）在求差比較法中，求差後對「差式」適當變形並判斷符號的方法
師：下面我們將通過例題來歸納、總結求差比較法證明不等式時，如何對差式變形並判斷差式符號．
例2 求證：x2＋3＞3x．
（學生口述解題過程，教師板書）
師：求差後，進行等價變形時用的什麼方法？
生：配方法．
師：為什麼用配方法？
生：因為求差後，式子中-3x的符號不確定，所以不容易判斷符號，配方後變形為乙個完全平方式子與乙個常數和的形式，這種差式的符號可以判斷．
師：也就是說變形的目的在於能判斷差式的符號，這道題用的是配方法．
例3 已知：a，b∈r＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3．
師：這道題含義是什麼？
生：對於a，b屬於任意正實數，不等式都成立．
師：請同學們考慮如何用比較法證明．
（學生口述，教師板書）
證明：a5＋b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（a2b3-b5）=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）
=（a2-b2）（a3-b3）=（a＋b）（a-b）2（a2+ab+b2）
由於a，b∈r＋，則a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，（a-b）2≥0，
所以（a＋b）（a-b）2（a2＋ab＋b2）≥0，即（a5＋b5）（a3b2＋a2b3）≥0．
因此a5＋b5≥a3b2＋a2b3．
師：這道題是用什麼方法對差式進行等價變形．
生：對差式進行因式分解．
師：這樣變形的目的是什麼？
生：將差式因式分解變形為幾個因式積的形式，對每個因式進行分析，判斷符號，從而使因式積的符號可以判斷，差式符號即可判斷．
師：說得很好，變形的目的是能判斷差式符號，這道題採用的是因式分解的方法，在判斷符號時要注意表述嚴謹、周密，正確判斷a，b∈r+範圍內每個因式符號．
師：這道題含義是什麼？
生：對任意實數x，不等式都成立．
（此時有的學生有異議）
生：我覺得應該考慮左式分式有意義的條件．
師：左式分式有意義的條件是什麼？
生：x∈r．
師：對．這道題忽視分式有意義的條件是不對的．只不過在這道題中條件就是x∈r，所以這道題的是對任意實數x，不等式都成立．請證明這道題．
（學生口述，教師板書）
師：這道題又是如何變形的呢？
生：這道題求差後，先通分，然後將分子配方，最後判斷符號．
師：通過以上例題，用比較法證明不等式可以歸納為哪些步驟．
生：有三步：（1）求差；（2）變形；（3）判斷符號．
師：在這些步驟中哪一步最重要．
生：我認為變形最重要．
師：為什麼？
生：因為變形適當才能判斷差式符號．
師：怎麼就叫「變形適當」？
生：通過變形將差式化為容易判斷符號的式子．
師：對．求差後，把所得差式進行合理變形，化為容易判斷符號的式子是求差比較證明不等式的關鍵．在變形中，有哪些具體方法呢？
生：變形時可以用配方法、因式分解、通分．
師：當然，除了這些主要的方法，在今後學習中還要不斷積累方法．
（學生審題，考慮片刻）
師：這道題問的是兩個式子大小關係，如何判斷？
生：可以利用求差比較法證明不等式的方法．先求差，再變形，轉化為能與0比大小的式子，就可以判斷這兩個式子的大小關係．
（學生口述，教師板書）
師：先通分，再對分子進行因式分解，現在如何判斷符號呢？
（讓學生先討論，再回答）
生：需要分類討論？
師：為什麼要分類討論？
生：因為分子中國式a-b的符號隨著a，b大小關係的不同而有不同的符號．
師：如何分類？
生：分為a＞b，a=b，a＜b三類討論．
（學生口述，教師板書）
由於a，b＜0，則a·b＞0，a2＞0，b2＞0，a＋b＜0，進而2ab＞0，a2＋b2＞0，則（a2＋b2）（a＋b）＜0．
師：這道題在判斷符號時用分類討論，分類討論是重要的數學思想，要知道為什麼分類？怎麼分類？分類時要不重不漏．
（四）小結
在了解不等式證明的含義的基礎上，今天主要學習了不等式證明常用方法之一，比較法（或稱求差比較法）證明不等式，它是不等式證明中最基本、最重要的證明方法．要明確求差比較法證明不等式的依據，理解轉化，使問題簡化是求差比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差後對差式變形以及判斷符號的重要方法，並在今後學習中繼續積累方法．
比較法證明不等式除了求差比較法，還有沒有其他方式呢？請同學們課下思考研究．
（五）布置作業
用比較法證明下列不等式：
（左式-右式=（q＋1）（q-1）2（q2＋1）（q2＋q＋1））
4．已知a，b∈r＋，求證：aabb≥abba．
（此題可用求商比較法證明）
課堂教學設計說明
1．本節課是不等式證明的第一節課，因此需要了解不等式證明的含義，在這裡是通過具體例題說明的並不需要研究不等式證明的一般定義．
2．例1是一道很簡單的題，學生會很自然地使用求差．這時教師引導學生深入思考這種方法正確性的依據以及這種方法中所蘊含的數學思想方法，提高學生對求差比較法的認識，同時使學生感受到淺顯、平淡知識中仍有一些值得思索和注意的地方，逐漸培養學生良好思維品質，有利於學生能力提高．
3．例2，例3，例4三道題主要目的在於讓學生歸納、總結，求差後對差式變形，並判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟．在這裡如何對差式變形是難點，應著重解決．首先讓學生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結變形時常用方法，有利於難點的突破．例5帶有一些綜合性，加強學生對求差比較法認識和掌握，並考查對分類討論思想的認識，例題設計目的在於突出重點，突破難點．
4．本節課採用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，教師通過設疑、暗示，課堂討論等多種教學形式和方法，啟發誘導學生深入思考問題，培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質．
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