3.4.1 基本不等式的證明
南京師範大學附屬中學季人傑
教學目標：1．探索並了解基本不等式的證明；2．體會證明不等式的基本思想方法；3．能應用基本不等式解決簡單的不等式證明問題．
教學重點：基本不等式的證明．教學難點：基本不等式的證明．
教學過程：
一、問題情境，匯入新課
口述：有乙個珠寶商人，很多人到他那裡買的東西回家一稱發現分量都有問題，於是向工商局投訴，工商局派人去調查，商人承認他用的天平左右的桿長有問題，向人們提出乙個調解方案，放左邊稱變重對人們不公平，放右邊稱變輕商人要虧本，那麼用兩次稱重的平均值作為物品的實際重量，如果你是購買者，你接受他的方案嗎？
問題1 你能不能把這個問題轉化成乙個數學問題？
珠寶放左邊稱砝碼顯示重量為a，放右邊稱砝碼顯示重量為b，假設天平的左槓桿長為l1，右槓桿長l2，那麼這個珠寶的實際重量是多少？（會算嗎？用什麼原理來算？
你認為珠寶商的方案合理嗎，那也就是哪個大？）
問題2 哪個大？（你估計一下哪個大？）（如果回答取值代，那麼可以追問取一正一負行嗎？如果回答作差，可以追問你估計一下哪個大？）
二、學生活動
問題3 如何證明呢？
請2個同學上黑板（巡視，有不同的解法讓他上黑板寫一下）．
證法一（比較法）：==，
當且僅當，即時，取「=」．
證法二：要證 ，
只要證只要證
只要證因為最後乙個不等式成立，所以成立，當且僅當，即時，取「＝」．
證法三：對於正數，有
，，，．先讓學生談一談證的對不對，他這個證明方法有什麼特點？
點評：回顧我們上面的證明過程，我們來看一下各種證法的特點：
證法一是比較法，比較法常用的就是作差將差值與零去比較；
證法二是分析法，分析法的特點是盯住我們要的目標，尋找結論成立的條件；
證法三是綜合法，它們都是證明不等式的基本方法．
（看來珠寶商還是多賺錢的，只有a＝b時才是乙個守法的商人啊．）
三、建構數學
定理：如果是實數且，那麼（當且僅當時取「＝」）．
問題：對於這個定理你怎麼認識它？（結構有什麼特點啊？成立的條件是什麼？什麼叫當且僅當啊？）
（上式中稱為的算術平均數，稱為的幾何平均數，兩個正數的算術平均數大於等於它們的幾何平均數，有的時候我們也把這個定理寫成）．要用這個定理首先兩個數必須都是非負數．
當時，取「＝」，並且只有當時，取「＝」，我們把這種等號成立的情況稱之為當且僅當．
四、數**用
例1 設是正數，證明下列不等式成立：
（1） （2）（3）
（先讓學生點評，對不對，關注格式與條件，他用什麼方法來證明的？還有什麼別的思路？）
點評：我們證明不等式通常有比較法，分析法，現在有了這個定理，也可以應用它來證明
什麼時候取等號？
師：我們現在已經對這個不等式有了一定的認識了，你能不能從圖形的角度來認識一下它呢？
有線段ab長為a，線段bc長為b，你能找到和嗎？（乙個學生講完了可以讓另乙個學生再解釋一下）
例2 （1）已知函式，求此函式的最小值．
點評：什麼是最小值，最小值就是大於等於乙個數，你說大於等於2，那也大於等於1嘛，我能說最小值就是1嗎？
（2）已知函式，求此函式的最大值；
（3）已知函式，求此函式的最小值．
五、回顧小結
回顧本節課，你對基本不等式有哪些認識？
《3 4 1基本不等式的證明 1 》學案
曹縣一中精品課堂學案 3.4.1 基本不等式的證明 1 一 問題情景 1.提問 與哪個大 2.基本不等式的幾何背景 如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象乙個風車，代表中國人民熱情好客 你能在這個圖案中找出一些相等關係或不等關...
基本不等式的證明
課題 基本不等式及其應用 一 教學目的 1 認知 使學生掌握基本不等式a2 b2 2ab a b r，當且僅當a b時取 號 和 a b r 當且僅當a b時取 號 並能應用它們證明一些不等式 2 情感 通過對定理及其推論的證明與應用，培養學生運用綜合法進行推理的能力 二 教學重難點 重點 兩個基本...
基本不等式與不等式證明
1.2基本不等式 主備人 遲克勤張瀅好李紅濤審核 朱玉國 學習目標 1.理解並掌握重要的基本不等式，不等式等號成立的條件 2.初步掌握不等式證明的方法 3 理解從兩個正數的基本不等式到三個正數基本不等式的推廣 複習 1 定理1 如果,那麼 2 定理2 基本不等式 如果,那麼 在定理2中的算術平均值的...