例1． 已知斜三稜柱abc-a』b』c』的底面是直角三角形，∠c=90°，側稜與底面所成的角為α（0°<α<90°），b』在底面上的射影d落在bc上。
（1）求證：ac⊥面bb』c』c。
（2）當α為何值時，ab』⊥bc』，且使得d恰為bc的中點。
講解：（1）∵ b』d⊥面abc，ac面abc，
∴ b』d⊥ac，
又ac⊥bc，bc∩b』d=d，
∴ ac⊥面bb』c』c。
（2）由三垂線定理知道：要使ab』⊥bc』，需且只需ab』在面bb』c』c內的射影b』c⊥bc』。即四邊形bb』c』c為菱形。此時，bc=bb』。
因為b』d⊥面abc，所以，就是側稜b』b與底面abc所成的角。
由d恰好落在bc上，且為bc的中點，所以，此時=。
即當α=時，ab』⊥bc』，且使得d恰為bc的中點。
例2． 如圖：已知四稜錐中，底面四邊形為正方形，側面pdc為正三角形，且平面pdc⊥底面abcd，e為pc中點。
（1）求證：平面edb⊥平面pbc；
（2）求二面角的平面角的正切值。
講解：（1）要證兩個平面互相垂直，常規的想法是：證明其中乙個平面過另乙個平面的一條垂線。
首先觀察圖中已有的直線，不難發現，由於側面pdc為正三角形，所以，，那麼我們自然想到：是否有？這樣的想法一經產生，證明它並不是一件困難的事情。
∵ 面pdc⊥底面abcd，交線為dc，
∴ de在平面abcd內的射影就是dc。
在正方形abcd中，dc⊥cb，
∴ de⊥cb。
又，，∴ de⊥。
又面edb，
∴ 平面edb⊥平面pbc。
（2）由（1）的證明可知：de⊥。所以，就是二面角的平面角。
∵ 面pdc⊥底面abcd，交線為dc，
又平面abcd內的直線cb⊥ dc。
∴ cb⊥面pdc。
又面pdc，
∴ cb⊥pc。
在rt中，。
點評：求二面角的平面角，實際上是找到稜的乙個垂面，事實上，這個垂面同時垂直於二面角的兩個半平面。
例3．如圖：在四稜錐中，⊥平面，∠，，，為的中點。
（1）求證：平面；
（2）當點到平面的距離為多少時，平面與平面所成的二面角為？
講解：題目中涉及到平面與平面所成的二面角，所以，應作出這兩個平面的交線（即二面角的稜）。另一方面，要證平面，應該設法證明ce平行於面內的一條直線，充分利用中點（中位線）的性質，不難發現，剛剛做出的二面角的稜正好符合要求。
（1）延長bc、ad交於點f。
在中，∠，所以，ab、cd都與af垂直，所以，cd//ab，所以，∽。又，，所以，點d、c分別為線段af、bf的中點。
又因為為的中點，所以，ec為的中位線，所以，ec//sf。
又，，所以，平面。
（2）因為：⊥平面，ab平面，所以，ab。又abaf，，所以，ab面。
過a作ahsf於h，連bh，則bhsf，所以，就是平面與平面所成的二面角的平面角。
在rt中，要使=，需且只需ah=ab=。
此時，在saf中，，所以，。
在三稜錐s-acd中，設點a到面scd的距離為h，則
h=因為ab//dc，所以，ab//面scd。所以，點a、b到面scd的距離相等。又因為e為sb中點，所以，點e到平面scd的距離就等於點b到面scd距離的一半，即a。
點評：探索性的問題，有些採用先猜後證的方法，有些則是將問題進行等價轉化，在轉化的過程中不斷探求結論。
例4．如圖，已知面，於d，。
（1）令，，試把表示為的函式，並求其最大值；
（2）在直線pa上是否存在一點q，使得？
講解 （1）為尋求與的關係，首先可以將轉化為。
∵面，於d，
∴。∴。
∴ 。∵為在面上的射影。
∴，即。
∴ 。即的最大值為，等號當且僅當時取得。
（2）由正切函式的單調性可知：點q的存在性等價於：是否存在點q使得。
。令，解得：，與交集非空。
∴ 滿足條件的點q存在。
點評本題將立體幾何與代數融為一體，不僅要求學生有一定的空間想象力，而且，作好問題的轉化是解決此題的關鍵。
例5． 如圖所示：正四稜錐中，側稜與底面所成角的正切值為。
（1）求側面與底面所成二面角的大小；
（2）若e是pb中點，求異面直線pd與ae所成角的正切值；
（3）在側面上尋找一點f，使得ef側面pbc。試確定點f的位置，並加以證明。
講解： （1）連交於點，連po，則po⊥面abcd，
∴ ∠pao就是與底面所成的角，
∴ tan∠pao=。
設ab=1，則po=aotan∠pao =。
設f為ad中點，連fo、po，則of⊥ad，所以，pf⊥ad，所以，就是側面與底面所成二面角的平面角。
在rt中，，
∴。即面與底面所成二面角的大小為
（2）由（1）的作法可知：o為bd中點，又因為e為pd中點，所以， 。
∴就是異面直線pd與ae所成的角。
在rt中，。
∴。由，可知：面。所以，。
在rt中，。
∴ 異面直線pd與ae所成的角為。
（3）對於這一類探索性的問題，作為一種探索，我們首先可以將條件放寬一些，即先找到面的一條垂線，然後再平移到點e即可。
為了達到上述目的，我們可以從考慮面面垂直入手，不難發現：。
延長交於點，連線。設為中點，連線。
∵ 四稜錐為正四稜錐且為中點，所以，為中點，
∴，。∴。∴ 面⊥。
∵，，∴為正三角形。
∴，∴。
取af中點為k，連ek，則由及得四邊形為平行四邊形，所以，。
∴。點評開放性問題中，「退一步去想」（先只滿足部分條件）、「將命題加強」往往是找到解題的突破口的方法。
1．（2023年全國高考題）如圖，已知平行六面體abcd-的底面abcd是菱形，且==。
（i）證明：⊥bd；
（ii）假定cd=2， =，記麵為，面cbd為，求二面角的平面角的余弦值；
（iii）當的值為多少時，能使平面？請給出證明。
[答案與提示：（ⅰ）略；（ⅱ）；（ⅲ）=1。
2．（2023年全國高考）如圖：正方形abcd、abef的邊長都是1，而且平面abcd、abef互相垂直。點m在ac上移動，點n在bf上移動，若cm=bn=.
（ⅰ）求mn的長；
（ⅱ）當為何值時，mn的長最小；
（ⅲ）當mn的長最小時，求面mna與面mnb所成的二面角的大小。
[答案與提示：（ⅰ）；（ⅱ）時，mn的長最小，為；（ⅲ）]
3．（2023年北京高考）如圖：在多面體中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，側稜延長後相交於e、f兩點，上下底面矩形的長、寬分別為與，且，兩底面間的距離為。
（1）求側面與底面所成二面角的大小；
（2）證明：
（3）在估測該多面體的體積時，經常運用近似公式來計算。已知它的體積公式是。
試判斷與的大小關係，並加以證明。
（注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）
答案與提示：（1）；（3）。
4.(2023年全國高考)如圖,在正方體中,e,f分別是的中點.
ⅰ.證明ad⊥;
ⅱ.求ae與所成的角;
ⅲ.證明面aed⊥面;
ⅳ.設＝2,求三稜錐的體積
[答案與提示： （2）90； （4）=1]
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