，，.證法二：（放縮法），.
證法三：（數形結合法）如圖，在rtabc及rtadf中，
ab=a，ac=b，bd=m，作ce∥bd
.例2 已知a，b∈r，且a+b=1. 求證：.
證法一：（比較法）
即（當且僅當時，取等號）.
證法二：（分析法）
因為顯然成立，所以原不等式成立.
點評：分析法是基本的數學方法，使用時，要保證「後一步」是「前一步」的充分條件.
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）.
證法四：（反證法）假設，則.
由a+b=1，得，於是有.
所以，這與矛盾.
所以.證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝＝右邊.
點評：根據欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個特點，選用基本不等式.
證法六：（均值換元法）∵，
所以可設，，
∴左邊＝
＝右邊.
當且僅當t=0時，等號成立.
點評：形如a+b=1結構式的條件，一般可以採用均值換元.
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，
所以，因為，所以，即.
故.例3 設實數x，y滿足y+x2=0，0求證：.
證明：（分析法）要證，
，只要證：，
又，只需證：.
∴只需證，
即證，此式顯然成立.
∴原不等式成立.
小結：證明不等式不但用到不等式的性質，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結合內容的方方面面.如與數列的結合，與「二次曲線」的結合，與「三角函式」的結合，與「一元二次方程，一元二次不等式、二次函式」這「三個二次」間的互相聯絡、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點.
在不等式證明中還要注意數學方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數學歸納法等，還要注意一些數學技巧，如數形結合、放縮、分類討論等.
比較法是證明不等式最常用最基本的方法.
分析法是數學解題的兩個重要策略原則的具體運用，兩個重要策略原則是：正難則反原則，即若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結論向條件追溯；簡單化原則，即尋求解題思路與途徑，常把較複雜的問題轉化為較簡單的問題，在證明較複雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進行變換轉化，得到乙個較易證明的不等式.
凡是「至少」、「唯一」或含有否定詞的命題適宜用反證法.
換元法（主要指三角代換法）多用於條件不等式的證明，此法若運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化成簡單的三角問題.
含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關於某字母的二次式時，這時可考慮判別式法，並注意根的取值範圍和題目的限制條件.
有些不等式若恰當地運用放縮法可以很快得證，放縮時要看準目標，做到有的放矢，注意放縮適度.
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