第十二講推理與證明
測試十二直接證明與間接證明
ⅰ 學習目標
1．了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法，能利用它們解決簡單問題．
2．了解間接證明的一種基本方法——反證法，能利用反證法解決簡單問題．
ⅱ 基礎訓練題
一、用分析法或綜合法證明下列問題
1．證明：
2．已知a＞b＞0，求證：
3．設a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，證明：a3＋b3＞a2b＋ab2．
4．已知銳角a，b滿足，證明：sina＞cosb．
5．已知數列是等差數列，．證明：數列是等差數列．
6．在△abc中，三個內角a，b，c的對邊分別是a，b，c，且a，b，c成等差數列，a，b，c成等比數列．求證：△abc為等邊三角形．
二、用反證法證明下列問題
7．設a，b是平面內的兩條直線，證明：這兩條直線最多只有乙個交點．
8．證明：若函式f(x)在區間[a，b]上是增函式，那麼方程f(x)＝0在區間[a，b]上至多只有乙個實數根．
9．設p，q∈r，且p3＋q3＝2，求證：p＋q≤2．
測試十三數學歸納法
ⅰ 學習目標
了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．
ⅱ 基礎訓練題
1．證明：，其中n∈n*．
2．證明：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn－1)＝1－xn，其中n∈n*．
3．數列滿足a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n＝2，3，4，…)．
(1)求a2，a3； (2)證明：an＝．
4．求證：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·，其中n∈n*．
5．已知數列，，…，，…，其前n項和為sn．經計算得，，，．觀察上述結果，推測出計算sn的公式，並加以證明．
6．求證：，其中n∈n*．
7．求證：，其中n∈n*且n≥2．
8．求證：2n＋1＞n2＋n＋1，其中n∈n*．
參***：
測試十二直接證明與間接證明
一、用分析法或綜合法證明下列問題
1．證法1：因為，，
所以欲證，
只需證明，即證明，
只需證明，即證明6＜7，
上式顯然成立，所以．
證法2：欲證，
只需證明，
即證明．
∵，，∴，
∴成立，所以．
2．欲證，
只需證明，
因為＞0，＞0，
故只需證明，即證明，
上式顯然成立，所以．
3．欲證a3＋b3＞a2b＋ab2，
只需證明(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，
由a＋b＞0，
只需證明a2－ab＋b2＞ab，即證明(a－b)2＞0．
因為a≠b，所以上式顯然成立，
所以a3＋b3＞a2b＋ab2．
注：本題也可使用作差比較法加以證明．
4．證明：因為，所以，
所以．因為函式y＝sinx在內單調遞增，
所以即sina＞cosb．
5．證明：設的公差為d,
則．∴，
根據等差數列的定義得是等差數列．
6．證明：因為a、b、c成等差數列，所以2b＝a＋c，
又a＋b＋c＝π，所以．
因為a、b、c成等比數列，所以b2＝ac，
根據餘弦定理得b2＝a2＋c2－2accosb＝a2＋c2－ac，即a2＋c2－ac＝ac．
所以(a－c)2＝0，a＝c，從而a＝c．
故△abc為等邊三角形．
二、用反證法證明下列問題
7．證明：假設a，b至少有兩個不同的交點a和b，
則通過不同的兩點a和b有兩條直線，
這與公理「經過兩點有且只有一條直線」相矛盾，
所以平面內的兩條直線最多只有乙個交點．
8．證明：假設方程f(x)＝0在區間[a，b]上至少有兩個不同的實數根α，β，
即f(α)＝f(β)＝0．
不妨設α＜β，
由於函式f(x)在區間[a，b]上是增函式，故f(α)＜f(β)，
這與f(α)＝f(β)＝0矛盾，
所以方程f(x)＝0在區間[a，b]上至多只有乙個實數根．
9．證明：假設p＋q＞2，即p＞2－q，
因為函式y＝x3在r上單調遞增，
所以p3＞(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3．
因為p3＋q3＝2，所以6q2－12q＋6＜0，即6(q－1)2＜0，
上式顯然不成立，故p＋q≤2．
測試十三數學歸納法
1．證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立．
(2)假設當n＝k時，等式成立，即，
那麼．即當n＝k＋1時，等式也成立．
根據(1)和(2)知，等式對任何n∈n*都成立．
2．證明：(1)當n＝1時，左邊＝1－x，右邊＝1－x，等式成立．
(2)假設當n＝k時，等式成立，即(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xk－1)＝1－xk，
那麼(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xk－1＋xk)
＝(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xk－1)＋(1－x)xk＝1－xk＋(1－x)xk＝1－xk＋1．
即當n＝k＋1時，等式也成立．
根據(1)和(2)知，等式對任何n∈n*都成立．
3．(1)∵a1＝1，∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13．
(2)證明：①當n＝1時，，結論成立．
②假設當n＝k時，結論成立，即，
那麼．即當n＝k＋1時，結論也成立．
根據①和②知，對任何n∈n*都成立．
4．證明：(1)當n＝1時，左邊＝12＝1，右邊＝，等式成立．
(2)假設當n＝k時等式成立，
即，那麼12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝．
即當n＝k＋1時，等式也成立．
根據(1)和(2)知，等式對任何n∈n*都成立．
5．解：推測．
證明：(1)當n＝1時，，猜想成立．
(2)假設當n＝k時，猜想成立，即，那麼．
即當n＝k＋1時猜想也成立．
根據(1)和(2)知，對任何n∈n*都成立．
6．證明：(1)當n＝1時，左邊＝，右邊，等式成立．
(2)假設當n＝k時，等式成立，即那麼＝
＝＝＝．即當n＝k＋1時，等式也成立．
根據(1)和(2)知，等式任何n∈n*都成立．
7．證明：(1)當n＝2時，左邊＝，右邊，左邊＞右邊．
(2)假設當n＝k時不等式成立，即那麼＝
＝．即當n＝k＋1時，不等式也成立．
根據(1)和(2)知，不等式任何n∈n*且n≥2都成立．
8．證明：(1)當n＝1時，左邊＝22＝4，右邊＝3，左邊＞右邊．
(2)假設當n＝k時，不等式成立，即2k＋1＞k2＋k＋1，
則2k＋1＋1＝2·2k＋1＞2(k2＋k＋1)＝2k2＋2k＋2，
∵2k2＋2k＋2－[(k＋1)2－(k＋1)＋1]＝2k2＋2k＋2－(k2＋3k＋3)
＝k2－k－1＝k(k－1)－1，
當k≥2時，k(k－1)－1＞0，
∴2k2＋2k＋2＞[(k＋1)2－(k＋1)＋1]，
∴2k＋2＞(k＋1)2＋(k＋1)＋1．
即當n＝k＋1時，不等式也成立．
根據(1)和(2)知，不等式任何n∈n*都成立．
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