例1：如圖2-4-27，四邊形abcd是正方形，△ecf是等
腰直角三角形，其中ce=cf，g是cd與ef的交點．
（1）求證：△bcf≌△dce．
（2）若bc=5，cf=3，∠bfc=900，求dg：gc的值．
例2：已知如圖2-4-28，be是⊙o的走私過圓上一點作⊙o的切線交eb的延長線於p．過e點作ed∥ap交⊙o於d，鏈結db並延長交pa於c，鏈結ab、ad．
（1）求證：．
（2）若pa=10，pb=5，求ab和cd的長．
例3：如圖2-4-29，⊙和⊙相交於a、b兩點，圓心在⊙上，連心線與⊙交於點c、d，與⊙交於點e，與ab交於點h，鏈結ae．
（1）求證：ae為⊙的切線．
（2）若⊙的半徑r=1，⊙的半徑，求公共弦ab的長．
（3）取hb的中點f，鏈結f，並延長與⊙相交於點g，鏈結eg，求eg的長
． 例4 如圖2-4-30，a為⊙o的弦ef上的一點，ob是和這條弦垂直的半徑，垂足為h,ba的延長線交⊙o於點c，過點c作⊙o的切線與ef的延長線交於點d．
（1）求證：da=dc
（2）當df：ef=1：8且df=時，求的值．
（3）將圖2-4-30中的ef所在的直線往上平移到⊙o外，如圖2-4-31，使ef與ob的延長線交⊙o於點c，過點c作⊙o的切線交ef於點d．試猜想da=dc是否仍然成立，並證明你的結論．
【提高訓練
1．如圖2-4-32，已知在△abc中，ab=ac，d、e分別是ab和bc上的點，鏈結de並延長與ac的延長線相交於點f．若de=ef，求證：bd=cf．
2．點o是△abc所在平面內一動點，鏈結ob、oc，並將ab、ob、oc、ac的中點d、e、f、g依次鏈結，如果defg能構成四邊形．（1）如圖2-4-33，當o點在△abc內時，求證四邊形defg是平行四邊形．（2）當點o移動到△abc外時，（1）中的結論是否成立？畫出圖形，並說明理由．（3）若四邊形defg為矩形，o點所在位置應滿足什麼條件？試說明理由．
3．如圖2-4-35，等腰梯形abcd中，ad∥bc，∠dbc=450．翻摺梯形abcd，使點b重合於點d，摺痕分別交邊ab、bc於點f、e．若ad=2，bc=8，求：（1）be的長．（2）∠cde的正切值．
4．如圖2-4-35，四邊形abcd內接於⊙o，已知直徑ad=2，∠abc=1200，∠acb=450，鏈結ob交ac於點e．（1）求ac的長．（2）求ce：ae的值．（3）在cb的延長上取一點p，使pb=2bc，試判斷直線pa和⊙o的位置關係，並加以證明你的結論．
5．如圖2-4-36，已知ab是⊙o的直徑，bc、cd分別是⊙o的切線，切點分別為b、d，e是ba和cd的延長線的交點．（1）猜想ad與oc的位置關係，並另以證明．（2）設的值為s，⊙o的半徑為r，試**s與r的關係．（3）當r=2，時，求ad和oc的長．
答案例1.分析與解答 （1）∵四邊形 abcd是正方形，
∴∠bcf+∠fcd=900，bc=cd．
∵△ecf是等腰直角三角形，cf=ce．
∴∠ecd+∠fcd=900．∴∠bcf=∠ecd．∴△bcf≌△dce
（2）在△bfc中，bc=5，cf=3，∠bfc=900．
∴bf=．
∵△bcf≌△dce，∴de=bf=4，∠bfc=∠dec=∠fce=900．
∴de∥fc．∴△dge∽△cgf．∴dg：gc=de：cf=4：3．
例2.分析與解答 （1）證明：∵pa是⊙o的切線，∴∠1=∠2．
∵ed∥ap，∴∠p=∠ped．
而∠3=∠bed，∴∠3=∠p．∴△abd∽△pba．∴．
（2）鏈結oa、ae．由切割線定理得，．即，
∴be=15．又∴△pae∽△pba，∴，即ae=2ab．
在rt△eba中，，
∴．將ab、pb代入，得bd=9．
又∵∠bde=900，ed∥ap，
∴dc⊥pa．∴bc∥oa．∴．
∴．∴cd=12
例3.分析與解答 （1）鏈結a．∵e為⊙的直徑，∴∠ae=900．
又∵a為⊙的半徑，∴ae為⊙的切線．
（2）∵a=r=1， e=2r=3，△ae為rt△，ab⊥e，
∴△ae∽△ha．∴．
∴．．（3）∵f為hb的中點，∴hf=，
∴．∵．
∴rt△∽rt△．∴．
∴，即．
例4.分析與解答 （1）鏈結oc，則oc⊥dc，∴∠dca=900-∠aco=900-∠b．
又∠dac=∠bae=900-∠b，∴∠dac=∠dca．∴da=dc．
（2）∵df：ef=1：8，，∴ef=8df=，
又dc為⊙o的切線，∴．
∴．∴，，．∴．
（3）結論da=dc仍然成立．理由如下：如圖2-4-31，
延長bo交⊙o於k，鏈結ck，則∠kcb=900．
又dc是⊙o的切線，∴∠dca=∠ckb=900-∠cbk．
又∠cbk=∠hba，∴∠bah=900-∠hba=900-∠cbk．
∴∠dca=∠bah．∴da=dc．
提高部分：【答案
1．過d作dg∥ac交bc於g，證明△dge≌△fce
2．（1）證明dg∥ef即可
（2）結論仍然成立，證明略
（3）o點應在過a點且垂直於bc的直線上（a點除外），說理略．
3．（1）be=5 （2）
4．（1）
（2）（3）∵，pb=2bc，∴ce：ae=cb：pb．
∴be∥ap．∴ao⊥ap．∴pa為⊙o的切線
5．（1）ad∥oc，證明略
（2）鏈結bd，在△abd和△ocb中，∵ab是直徑，∴∠adb=∠obc=900．
又∵∠ocb=∠bad，∴rt△abd∽rt△ocb．
∴．，∴
（3），.
幾何證明題
1 如圖,在三角形abc中,角c為90度,cd垂直ab,ae平分角bac交cd於f,交bc於g,fg平行於ab交bc於g,求證ce bg 證明 過e做eh ab交ab於h ae是 cab的平分線 ec ac ec eh 角平分線上的點到角的兩邊距離相等 ac bc，cd ab acd b ae是 c...
幾何證明題
1 已知，如圖，abc中，ae平分外角 dac，ae bc 求證 b c 2 如圖，在 abc中，d,e,f,分別為邊ab,bc,ca,的中點，求證四邊形decf為平行四邊形。3 4 如圖，已知 1 2，3 4，求證 ab cd 5 已知 如圖，ab cd，de ac，bf ac，e，f是垂足，de...
幾何證明題
幾何證明題 輔助線的新增 1.在 abc中，試求的度數。2.已知，如圖，在 abc中，ab ac，d是ab上的一點，延長ac至e，使ce bd，鏈結de交bc於f.求證 3.如圖，等邊三角形abc的邊bc上任取一點d，作 ade 600，de交 c的外角平分線於e。求證 ade是等邊三角形。4.如圖...