1. 等差、等比數列證明
例 1：已知數列前項和，求通項公式，並說明這個數列是否為等差數列。
解：時，；
時，因為時，
所以因為時，為常數，所以為等差數列。
例2： 設數列的前項的和為，且。
（1）設，求證：數列是等比數列；
（2）設，求證：數列是等差數列；
證明：（1）時， 又
是首項為3，公比為2的等比數列。
（2）又，是首項為，公差為的等差數列。
例3：設數列的前項的和，
⑴寫出這個數列的前三項；
⑵證明：數列除去首項後所成的數列是等差數列。
解：⑴由與的關係得到
⑵當時，
對於任意都成立，從而數列是等差數列。
注：由於，故不對任意成立，因此，數列不是等差數列。
例4：設數列的首項，前項和滿足關係，求證為等比數列。
證明如下：時：
兩式相減得：
即：所以：
（這只能說明從第二項開始，後一項與前一項的比為定值，所以需要對第二項與第一項的比另外加以證明，以達到定義的完整性。）
又因為時：
即又因為，所以
所以所以
所以對任意都有為定值，所以為等比數列。
練習題：
1. 設是公比不相等的兩等比數列，．
證明數列不是等比數列．
2．已知數列的前項和為，且滿足：
，（）．
（ⅰ）證明：數列為等差數列； （ⅱ）證明：數列為等比數列．3．已知數列的前項和為，且滿足：（），
證明：數列為等比數列．
4. 數列的前項和為（）．
（ⅰ）證明：數列是等差數列；
（ⅱ）若數列滿足：，證明：數列是等比數列．5. 設數列的首項，
且， 記．
（ⅰ）求；（ⅱ）判斷數列是否為等比數列，並證明你的結論．
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