陶維林章建躍執筆
「中學教學核心概念、思想方法結構體系及其教學設計研究」課題組於2023年5月11日~14日在浙江省台州市黃岩中學召開了第四次研討會。會前指定了五位教師根據「中學數學核心概念、思想方法教學設計框架結構（實行搞）」，以「直線谷平面垂直的判定」和「演算法的概念」為題，進行精心的教學設計，有的設計還經過集體討論。討論會上，先由五位教師上課（實施教學設計），然後課題組以教學設計實施過程為載體，分析和評價教學過程，並反饋到教學設計環節，提出改進教學設計的方案。
「直線谷平面垂直的判定」由三位教師執教。我們採取比較的方式，在分階段回顧三堂課的基礎上，對教學設計和實施進行反思。在不改變願意的前提下，我們對教師的語言做了適當精簡。
1 課題的引入
三位教師採用了個不相同的引入方式。
1.1教師甲的引入
教師：同學們，空間一條直線與平面有哪幾種位置關係？
學生1邊演示邊敘述，得到直線與平面的三種位置關係。
教師：直線與平面內，得到直線與平面平行已研究過，直線與平面相交的位置關係成為今天要研究的問題。在日常生活中，你見過哪些可以抽象成直線與平面相交的位置關係（的形象）？請舉例說明。
學生：日光燈的掉線與天花板相交；房子的柱子與天花板相交；插在碗裡的筷子與（平的）碗底相交。
教師：同學們想象力非常豐富，在生活中確實有許多可以抽象成直線與平面相交的例子。再比如，教室中的牆角線（兩個牆面的交線）與地面。
（展示**）小區中的某些建築，撐船師傅的竹竿與水平面都給我們以直線與平面相交的形象。古詩詞中描寫某些自然景觀，如「大漠孤煙直」，「一行鷺上青天」的詩句，這些都給我們以直線與平面相交的形象。（展示操場上旗桿**）旗桿與地面所在的平面也相交。
在直線與平面相交的模型中（位置關係中），你認為哪種相交最特殊？
學生：直線與平面垂直。
教師：今天我們就研究這種關係（板書出示課題）
1.2教師乙的引入
教師：（用ppt呈現龍捲風**）同學們剛進教室看到這樣一副壯麗的**，我不禁想到唐代詩人王維的詩句「大漠孤煙直」。在廣袤無垠的沙漠上一般炊煙沖天而起給沙漠帶來無限生機。
欣賞這一美妙畫面之後是否想到立體幾何中什麼與什麼的關係。
學生：（齊聲）線與面垂直。
教師：線與面垂直，很好。說明同學們既有豐富的想象力又有很好的理性思維。請想一想在日常生活中，有沒有這種線與面垂直的其他例子。
學生：看電視時，視線與畫面；電線幹直立與地面垂直。
教師：這樣的例子很多，比如大橋橋柱與水面。正是因為生活中有許多線與面垂直關係，所以，在幾何中有必要對線面垂直做進一步研究。這堂課就來學習直線與平面垂直（板書出示課題）
1.3 教師丙的引入
教師：前面我們研究了直線與平面平等的判定與性質，今天我們要研究直線與平面的其他位置關係。展示天安門廣場上的國旗及旗桿。
這裡先請大學看一幅**，天安門廣場的紅旗迎風飄揚。再看另一幅**，一橋飛架南北，天塹變通途。請大學回答下面問題。
問題1：請同學們觀察**，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什麼位置關係？
學生眾：垂直。
教師：從數學的角度看，就是什麼與什麼的垂直。學生眾：線與面。
教師：你還能舉出一些類似的例子嗎？想一想（教師同時出示課題）。
學生1：音箱的邊緣與地面。
學生2：立竿見影，竿與地面垂直。
教師又展示跨欄與跳高架的**，說明跨欄的支架與地面、跳高架立竿與地面是垂直關係。
請大家將旗桿與地面這種位置關係畫出相應的幾何圖形。
學生畫圖，教師在圖板上畫出圖1。
教師：為什麼畫成這樣呢？這樣直觀性強，將直線畫得與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。
教師：接著前面內容的學習，下面我們要學習直線與平面垂直的定義、判定與性質。
1.4 不同引入方式的比較與思考
應當說，三位教師的引入各有特色。教師甲在直線與平面位置關係的系統中，以「在這些相交關係中，你認為哪種相交最特殊？」引出課題，並伴以學生的動手操作、舉例、想象和語言敘述。
這一設計的特點是：注意知識的系統與聯絡；強調學生生活經驗的作用。這樣容易喚起在「直線與平面平行」的學習形成的經驗，從而明確「研究什麼」和「怎樣研究」，使學習的自覺性得到提高。
教師乙利用一張生活**提出「是否想到在立體幾何中的什麼與什麼的關係」，由於「誘導」過分明顯，學生就不假思索地齊聲回答「線面垂直」。雖然有後面的師生分別舉例，但課題引入任務由這一句話已經完成。雖然這一引入有單刀直入、開門見山的特點，但學生對看**的意圖、當前學習內容與已有知識與方法的聯絡與借鑑等很難覺察到。
另外，「線面垂直」的說法不好，至少提出得太早。
另外，甲、乙兩位教師用的「大漠孤煙直」的情境不能很好地反映當前學習內容的本質，不是乙個好情境。
教師丙的引導語：「前面我們研究了直線與平面平行的判定與性質，今天我們要研究直線與平面的其他位置關係」以及圖，目的都是直指「要研究直線與平面垂直」。這樣引入也稍嫌太快，學生對於「要學什麼」「為什麼要學」和「如何學」等的感知都不充分，要學的內容已有經驗的銜接不夠自然。
良好的開端是成功的一半，課題引入是課堂教學的重要一環。教學設計中，應當重點考慮：如何利用新舊知識的聯絡與發展，以及學生相關的生活經驗，創設問題情境，以自然、親切地引出學習內容；如果在課題引入中融入「學什麼、為什麼、怎麼學」的成分。
2 定義的形成過程
2.1 教師甲的教學過程
教師：怎樣給直線與平面垂直下定義呢？請同學們回憶直線與直線垂直是如何定義的？
學生：直線與直線成90°，稱這兩條直線互相垂直。
教師：兩條直線垂直可以分為兩條直線「相交垂直」和「異面垂直」。而「異面垂直」是轉化為「相交垂直」來研究的，實際上是把空間問題轉化為平面問題。
按照這樣的思路能否將「線面垂直」的問題轉化為「線線垂直」的問題呢？請大家結合對下列問題的思考給出直線與平面垂直的定義。
（結合**）陽光下，一條旗桿ab與它在地面上的影子bc所成的角是多少度呢？（圖2）
學生眾：90°。
教師：旗桿所在的直線與影子所在的直線相互垂直。那麼，隨著太陽的移動影子也會發生移動，在這個過程中，旗桿所在的直線與影子所在的直線位置關係是否會發生變化？
學生眾：不會。
教師：那麼，說明旗桿ab所在的直線與地面上任意一條過點b的直線始終垂直。平面上不過點b的直線是否與旗桿ab也垂直呢？
學生眾：垂直。
教師：為什麼？
學生：把平移過去（經過點b），存在一條過點b的影子與旗桿ab垂直。
教師：很好。這說明，地面上與不經過點b的其他直線也是垂直的，也說明，旗桿所在的直線與地面上任意一條直線都垂直。那麼，你能用語言來概括直線與平面垂直的定義嗎？
學生：如果一條直線與平面內的任意一條直線都垂直，那麼，我們就說這條直線與平面是互相垂直。
教師：很好。我們借用「線線垂直」來定義「線面垂直」。教師用幻燈片顯示直線與平面垂直的定義，要求學生用圖形語言、符號語言表示直線與平面垂直關係。
2.2 教師乙的教學過程
教師：研究直線與平面垂直，我們首先要弄清：到底怎樣才算直線與平面垂直呢？（開、閉教室的門）問：「在門開啟的過程中，門軸與接近地面的這條邊保持什麼關係？」
學生眾：垂直。
又通過教具說明旗桿與地面上的影子保持垂直。門邊與下面的（不同位置的）邊緣、旗桿與（不同位置的）影子都是相交的。（借助教具）在平面內，有的直線與旗桿不相交，它和旗桿是否也是垂直關係？
學生眾：是的。
教師：為什麼？我們可以將它平移到過旗桿的根部。這就為我們提供了線面垂直的定義。
板書線面垂直的定義，給出畫法以及垂線、垂面、垂足的意義。
2.3 教師丙的教學過程
教師：接下來，我們要研究直線與平面垂直的定義、判定和性質。首先我們看直線與平面垂直的定義。
展示**，提出思考題：如果定義一條直線和乙個平面垂直？在我們前面學習的「線面平行」的位置關係中，我們將「線面平行」關係轉化為「線線平行」這樣的位置關係考查，體現了「平面化」和「降維」的思維。
現在我們要研究直線與平面垂直，也可以將它轉化為直線與平面同的直線的位置關係問題。下面來看問題2（ppt顯示）：
（1）如圖2，陽光下，觀察直立於地面的旗桿ab及它在地面上的影子bc，旗桿所在的直線與影子所在的直線有什麼位置關係？
（2）旗桿ab與地面上任意一條不過旗桿底部b的直線有什麼位置關係？
演示在不同時刻時，旗桿所在直線與影子所在直線的位置關係。
學生眾：垂直。
教師：旗桿ab與地面上任意一條不過旗桿底部b的直線垂直，能說說理由嗎？
學生：將直線平移到與ab相交。
教師：這就體現了將兩條異面直線的問題轉化為共面直線的問題。直線是平面內的任意一條，由此可以得到什麼結論呢？
學生：如果一條直線與平面垂直，那麼這條直線與平面內的任意一條直線都垂直。
問題3：通過上述觀察分析，你認為應該如何定義直線與平面垂直？
學生：如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，那麼直線垂直於平面。
教師：板書直線與平面垂直的定義，並辨析「任意一條」是否可以換成「無數條」。
2.4 不同教學過程的比較與思考
本環節涉及如下幾個問題：定義的教學時間、典型例項的使用特別是提出什麼問題、概括定義的過程中師生活動的安排、數學思想方法的滲透、定義辨析活動的內容和過程等。
2.4.1 關於定義的得出過程
教師甲注意利用學生已有的知識基礎、生活經驗，並注意研究方法的引導。把「異面直線垂直」轉化為「相交直線垂直」是可以借鑑的經驗，教師通過提示，不僅引導了思考方向，而且也滲透了模擬、化歸、降維等數學思維方法。怎樣的「線線垂直」可以導致「線面垂直」？
教師構建了「旗桿與變動的影子的關係」的情境，在學生得出「旗桿與變動的影子都垂直」之後，提問「地面上不是影子的直線是否與旗桿也垂直」？學生由「異面直線垂直」轉化為「相交直線垂直」的經驗，採用平移的方法（空間問題轉化為平面問題的最常用方法），得出「也垂直」的結論。在充分認知「旗桿和地面上任意一條直線都垂直」之後，再給直線與平面垂直下定義就比較自然了。
這一過程既是學生對定義的充分感知過程，也是體會定義合理性的過程。
在教師甲的教學中，一開始讓學生回憶直線與直線垂直的定義是乙個不恰當的環節，因為它容易把學生的思路引到「當直線與平面成90°時，直線與平面垂直」。雖然可以再追問「如何刻畫直線與平面成90°」，但這是乙個學生「夠不著」的問題。所以，直接讓學生回憶直線與直線垂直的研究方法更好，因為它是與本節內容直接相關的知識「生長點」。
直線與平面垂直的判定
2.3.1 直線與平面垂直的判定 一 教學目標 1 知識與技能 1 使學生掌握直線與平面垂直的定義及判定定理 2 使學生掌握判定直線和平面垂直的方法 3 培養學生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認的基礎上學會歸納 概括結論。2 過程與方法 1 通過教學活動，使學生了解，感受直線和平面垂直的定...
直線與平面垂直的判定
引入 知識點 一 相關概念 直線與平面垂直的定義 一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，則稱這條直線和這個平面垂直.直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.交點叫做垂足.從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫做這個點到這個平面的距離。記作 畫法 二 判定定理 問題 1 直線與平面內的...
直線與平面垂直的判定教學反思
焉耆一中數學組李新華 本節是高一 必修2 第二章第三節第一課時的內容。本節課所要達到的知識目標是 1 掌握線面垂直的定義 2 掌握線面垂直的判定定理，並能利用判定定理證明一些簡單的線面垂直問題。所要達到的知識目標很明確，但學生的實際情況是空間想象能力較弱。所以本節課我先是以生活例項讓學生比較直觀的認...