（一）知識歸納：
1．拆項求和法：將乙個數列拆成若干個簡單數列（如等差數列、等比數列、常數數列等等），然後分別求和.
2．併項求和法：將數列的相鄰的兩項（或若干項）並成一項（或一組）得到乙個新的且更容易求和的數列.
3．裂項求和法：將數列的每一項拆（裂開）成兩項之差，使得正負項能互相抵消，剩下首尾若干項.
4．錯位求和法：將乙個數列的每一項都作相同的變換，然後將得到的新數列錯動乙個位置與原數列的各項相減，這是仿照推導等比數列前n項和公式的方法.
5．反序求和法：將乙個數列的倒數第k項（k=1，2，3，…，n）變為順數第k項，然後將得到的新數列與原數列進行變換（相加、相減等），這是仿照推導等差數列前n項和公式的方法.
（二）學習要：
1．「數列求和」是數列中的重要內容，在中學高考範圍內，學習數列求和不需要學習任何理信紙，上面所述求和方法只是將一些常用的數式變換技巧運用於數列求和之中. 在上面提到的方法中，「拆項」、「併項」、「裂項」方法使用率比較高，「拆項」的典型例子是數列「」的求和；「裂項」的典型例子是數列「」的求和；「併項」的典型例子是數列「」的求和.
2．「錯位」與「反序」求和方法是比較特殊的方法，使用率不高，其中「錯位」求和方法一般只要求解決下述數列的求和問題：若是等差數列，{}是等比數列，則數列{}的求和運用錯位求和方法.
[例1]解答下述問題：
（i）已知數列的通項公式，求它的前n項和.
[解析]
==（ii）已知數列的通項公式求它的前n項和.
[解析]
（iii）求和：
[解析]注意：數列的第n項「n·1」不是數列的通項公式，記這個數列為，
∴其通項公式是
（ⅳ）已知數列
[解析]為等比數列，∴應運用錯位求和方法：
（ⅴ）求和
[解析]
而運用反序求和方法是比較好的想法，
①，②，①+②得
[評析]例1討論了數列求和的各種方法，關鍵是準確抓住數列通項公式呈現的規律，然後選定一種求和方法，並作出相應的變換.
[例2]解答下列問題：
（i）設
（1）求的反函式
（2）若
（3）若
[解析]（1）
（2）是公差為9的等差數列，
（3）（ii）設函式
求和：[解析]
①當n為偶數時
=②當n為奇數時
[解析]例2中的（i）、（ii）兩題是以數列求和為主要內容的數列綜合試題，需要熟練運用求和方法，問題（i）中運用了「裂項」求和方法，而問題（ii）中靈活運用了拆項與並項的求和方法.
[例3]已知數列的各項為正數，其前n項和，
（i）求之間的關係式，並求的通項公式；
（ii）求證
[解析]（i）①，而②，
①—②得
的等差數列，
（ii）
[評析]例3是十分常見的數列型的不等式證明問題，由於運用了數列求和的思想，∴作出了乙個巧妙的放縮變換，然後與數列求和掛上了鉤.
《訓練題》
一、選擇題
1．在數列中，，則項數n為
a．9 b．10 c．99 d．100
2．數列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n－1），…的前n項和等於
a． b． c． d．
3．設 a．－1 b．0 c．1 d．2
4．數列1
a． b． c． d．
5．數列{}的前n項和
a． b． c． d．
6．數列{}的通項公式為則數列{}的前n項和為
a． b． c． d．
二、填空題
7．數列的前10項之和為
8．若9．已知{}的前n項和的值為
10．已知數列{}的通項公式是項和為
三、解答題：
11．已知數列{}的各項分別為的前n項和.
12．已知數列{}滿足：的前n項和
.13．設數列{}中， 中5的倍數的項依次記為
，（i）求的值.
（ii）用k表示，並說明理由.
（iii）求和：
14．數列{}的前n項和為，且滿足
（i）求與的關係式，並求{}的通項公式；
（ii）求和
15．將等差數列{}的所有項依次排列，並如下分組其中第1組有1項，第2組有2項，第3組有4項，…，第n組有項，記tn為第n組中各項的和，已知t3=-48，t4=0，
（i）求數列{}的通項公式；
（ii）求數列的通項公式；
（iii）設數列的前n項和為sn，求s8的值.
《答案與解析》
一、1．c 2．b 3．c 4．b 5．d 6．b
二、7． 8．10 9．67 10．
11．（1）（2）當
①②當時，1）當n為奇數時
2）當n為偶數時
12．當而②，
①－②得
13．（i）
（ii）
（iii）
14．（i）
（ii）
15．（i）設{}的公差為d，則①，②，解①、②得
（ii）當時，在前n－1組中共有項數為
∴第n組中的
（iii）
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