第一章習題1 證明恒等式
[證明]
習題2 證明若,則
[證明]
,又因為所有的指標都是啞指標,,所以,即
習題3 已知某一點的應力分量,,,不為零,而,試求過該點和z軸,與x軸夾角為的面上的正應力和剪應力。
[解] 如圖1.1,過該點和z軸,與x軸夾角為的面的法線,其與x軸,y軸和z軸的方向余弦分別為cosα,sinα,0,則由斜面應力公式的分量表示式,,可求得該面上的應力為
由斜面正應力表示式,可求得正應力為
??剪應力為
習題4 如已知物體的表面由確定,沿物體表面作用著與其外法線方向一致分布載荷。試寫出其邊界條件。
[解] 物體表面外表面法線的方向余弦為
帶入應力邊界條件,,得
習題5 已知某點以直角座標表示的應力分量為,,,,,,試求該點以柱座標表示的應力分量。
[解] 如圖1.2,兩個座標軸之間的方向余弦如下表所示:
由應力分量轉換公式,求得
利用三角公式可將上面的式子改寫為
習題6 一點的應力狀態由應力張量給定,式中,,,為常數,是某應力值,求常數,,,以使八面體面上的應力張量為零
[解] 由斜面應力公式的分量表示式,,知八面體面上應力張量為零需滿足如下方程組:
解得習題7 證明(1)應力的三個主方向互相垂直;(2)三個主應力,,必為實根
[證明]
(1)設任意兩個不同的主應力為、,對應的主方向為、。根據主應力定義有:
, 將以上兩式分別點乘和再相減,得
是對稱應力張量,上式可改寫為
所以應力的三個主方向互相垂直
(2)設任意兩個不同的主應力為、,對應的主方向為、
若為複數,則為其共軛複數,從而方向余弦、互為共軛
與主方向相互垂直矛盾
所以三個主應力必為實數
習題8 證明球形應力張量在任意斜面上的剪應力為零,且正應力為
[證明] 球形應力張量,設任意斜面的方向余弦為
由斜面應力公式 ,得
由斜面正應力公式 ,得
由斜面剪應力公式,得
習題9 求應力偏量張量的不變數
[解] 應力張量可分解為球形應力張量和應力偏量張量,
應力偏量張量,其主應力方程為,即
上述方程存在非零解的必要條件是係數行列式為零,即
得到關於的三次代數方程,
其中,和分別為應力偏量張量的第
一、第二、第三不變數
設,和為應力偏量張量的三個主值,則
習題11 設為二階對稱張量,證明由匯出的應力一定滿足無體力的平衡方程
[證明] 又關於,反對稱,關於,對稱
,即滿足無體力的平衡方程,-忽略體力下的平衡微分方程
習題12 已知直角座標系中各點的應力張量,試求體積力分量
[解] 根據平衡微分方程,得對誰偏導的問題
得體積力分量為
習題13 如圖1.3所示的三角形截面水壩,材料的比重為,承受著比重為液體的壓力,已求得應力解為,試根據直邊及斜邊上的表面條件確定係數,,和
[解] 如圖所示,建立平面直角座標系
水壩左側表面法線的方向余弦為,受外力的作用
根據應力邊界條件,,在處
水壩右側表面法線的方向余弦為,受外力的作用
根據應力邊界條件,,在處
由上述兩個方程組,得外力是如何確定的
習題14 如圖1.4所示的三角形截面水壩,其左側作用著比重為的液體,右側為自由表面,試寫出以應力分量表示的邊界條件。
[解] 如圖所示,建立平面直角座標系
水壩左側表面法線的方向余弦為,受外力的作用
根據應力邊界條件,,在處
水壩右側表面法線的方向余弦為,受外力的作用
根據應力邊界條件,,在處
第二章習題1 初始時刻位於的質點在某時刻的位置為,其中,求格林應變張量的分量。
[解] 採用拉格朗日描述法,,得
由格林應變張量,,,得
習題2 證明是二階對稱張量的分量,而不是任何張量的分量。
[證明]
(1) ,顯然可得其對稱性
對於笛卡爾直角座標系和,各座標軸之間的方向余弦如下表
由彈性力學理論知,,恰與張量定義相吻合,
是二階對稱張量的分量
(2)設有一剪應變張量,其分量
取任一向量,則
,但不能縮並為,與假設是張量矛盾。
根據張量的商判則,不是任何張量的分量。
習題3 為求平面應變分量、、,將電阻應變片分別貼在方向,與成和方向上,測得應變值以、、表示,試求、、
[解] 平面應變狀態下,沿方向,與成和方向上的方向余弦分別為
根據方向線元的工程正應變公式,,得
求得習題4 假設體積不可壓縮位移與很小,,在一定區域內已知,其中,,為常數,求。
[解] 題目條件適用小變形,,得
體積不可壓縮,
即習題5 在平面應變狀態下,使用直角座標和極座標中應變分量、位移分量的轉換公式,寫出在極座標中的應變和位移的關係式。
[解] 在平面應變狀態下,由應變分量轉換公式,,得
1)代入,即
2)3)
4)因此,
5)6)
將式(2)-(6)代入式(1),得平面應變狀態下,極座標中的應變和位移的關係式:
習題7 證明由下式確定的應變恆滿足變形協調方程,。
[證明]
對於單值連續位移場,並存在三階以上連續偏導數時,偏導數的值與求導順序無關
關於,對稱;關於,對稱
對於排列符號
關於,反對稱;關於,反對稱
即應變恆滿足變形協調方程,
習題8 假定物體被加熱至定常溫度場時,應變分量為;,其中為線膨脹係數,試根據應變協調方程確定溫度場的函式形式。
[解] 由應變協調方程,,得
又定常溫度場應滿足拉普拉斯方程,
故的函式形式中不應含有高於或等於2次的項
溫度場的函式形式為
其中,,,和均為常數。
習題9 試匯出平面應變軸對稱情況下的應變協調方程
[解] 軸對稱平面應變情況下,應變分量為
因此,平面應變軸對稱情況下的應變協調方程為
習題10 在某一平面軸對稱變形情況下,軸向應變為常數,試確定其餘兩個應變分量和的表示式(材料是不可壓縮的)
[解] 平面軸對稱情況下,變形協調條件為:
當材料不可壓縮時,體積應變為零,即,代入上式,得
解得,式中,c是右邊界條件確定的常數
習題11 試問什麼型別的曲面在均勻變形後會變成球面。
[解] 均勻變形狀態可表示為
其中,為常量
設均勻變形前的座標為,則變形後的座標為
曲面在均勻變形後變成球面,即
略去剛體位移,當、、為主軸時,變形前的座標滿足
變形前半軸為,,的橢球面在均勻變形後會變成球面。
特別的,當時,表示球面均勻變形後仍為球面。
『習題12 若物體內各點的位移分量為,其中,均是常數。
試證明,物體內所有各點的應變分量為常數(這種變形狀態稱為均勻變形),並分別證明在均勻變形後的物體內有:
(1)直線在變形後仍然是直線;
(2)相同方向的直線按同樣的比例伸縮;
[證明] 由位移分量求得物體內各點的應變分量為
1)即物體內所有各點的應變分量為常數(均勻變形)
(1)若物體內任意一點,變形後變為座標和之間的關係為
2)變形前,直線上的點,和滿足
3)將式(3)代入式(2),並整理,得
4)式(4)表明直線在均勻變形後仍然是直線
(2)變形前連線兩點,的直線長度為,方向余弦為、、,變形後的兩對應點,的直線長度為,方向余弦為、、(圖2.1)
將式(2)代入上式,得
5)將上式兩端除以,得
7)而6)
對於方向相同的直線,具有相等的方向余弦、、,在均勻變形情況下,由式(6)和(7),知為常數。即
相同方向的直線按同樣的比例伸縮;
習題13 物體的位移對稱於座標原點,試用球座標和笛卡兒座標表示位移分量和應變分量。
[解] 位移對稱於座標原點,則任意一點的位移沿半徑向量的方向,並且只是的函式,其餘位移。
(1)由球座標系中的應變-位移關係,得
(2)笛卡兒座標中
式中,,
因此,由,得
--第三章彈性本構關係和彈性問題的求解習題
習題1、試利用各向異性理想彈性體的廣義虎克定律匯出:在什麼條件下,理想彈性體中的主應力方向和主應變方向相重合?
解:各向異性理想彈性體的廣義虎克定律為:
(a)當時,三個互相垂直的應力方向為主應力方向。當時,三個互相垂直的應變方向為主應變方向。在主應變方向上,剪應力分量為:
b)若使,則式中,,具有非零解的條件為
c)上式即為x,y,z軸同時為應力主軸和應變主軸的條件。如果材料效能對稱於乙個平面,如oxy平面,則,而且,此時(c)式恆等於零。在此情況下,當存在以x,y,z軸為主方向的應變狀態時,其對應的剪應力分量將成為
d)若應變分量之間滿足,則此點的應變主方向和應力主方向重合。如果材料效能對稱於oxy,oyz,ozx三個平面,則有,此時(d)式總是滿足的。由此可知,當x,y,z軸為應變的主方向時,也必定為應力的主方向。
但是,當應變主方向和正交軸不重合時,一般它與應力的主方向是不重合的。對於各向同性彈性體,不需要任何補充條件,應力主方向和應變主方向總是重合的。
習題2、對於各向同性彈性體,試匯出正應力之差和正應變之差的關係式。且進一步證明:當其主應力的大小順序為時,其主應變的排列順序為。
解:各向同性條件下的廣義虎克定律為
將上式中的(1)-(2),(2)-(3),(3)-(1)分別得:
即 證明:當其主應力的大小順序為時,其主應變的排列順序為。 且,利用上述正應力之差和正應變之差的關係式有。
習題3、將某一小的物體放入高壓容器內,在靜水壓力作用下,測得體積應變,若泊松比=0.3,試求該物體的彈性模量。
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