第一章習題1 證明恒等式
[證明]
習題2 證明若，則
[證明]
，又因為所有的指標都是啞指標，，所以，即
習題3 已知某一點的應力分量，，，不為零，而，試求過該點和z軸，與x軸夾角為的面上的正應力和剪應力。
[解] 如圖1.1，過該點和z軸，與x軸夾角為的面的法線，其與x軸，y軸和z軸的方向余弦分別為cosα，sinα，0，則由斜面應力公式的分量表示式，，可求得該面上的應力為
由斜面正應力表示式，可求得正應力為
？？剪應力為
習題4 如已知物體的表面由確定，沿物體表面作用著與其外法線方向一致分布載荷。試寫出其邊界條件。
[解] 物體表面外表面法線的方向余弦為
帶入應力邊界條件，，得
習題5 已知某點以直角座標表示的應力分量為，，，，，，試求該點以柱座標表示的應力分量。
[解] 如圖1.2，兩個座標軸之間的方向余弦如下表所示：
由應力分量轉換公式，求得
利用三角公式可將上面的式子改寫為
習題6 一點的應力狀態由應力張量給定，式中，，，為常數，是某應力值，求常數，，，以使八面體面上的應力張量為零
[解] 由斜面應力公式的分量表示式，，知八面體面上應力張量為零需滿足如下方程組：
解得習題7 證明（1）應力的三個主方向互相垂直；（2）三個主應力，，必為實根
[證明]
（1）設任意兩個不同的主應力為、，對應的主方向為、。根據主應力定義有：
， 將以上兩式分別點乘和再相減，得
是對稱應力張量，上式可改寫為
所以應力的三個主方向互相垂直
（2）設任意兩個不同的主應力為、，對應的主方向為、
若為複數，則為其共軛複數，從而方向余弦、互為共軛
與主方向相互垂直矛盾
所以三個主應力必為實數
習題8 證明球形應力張量在任意斜面上的剪應力為零，且正應力為
[證明] 球形應力張量，設任意斜面的方向余弦為
由斜面應力公式 ，得
由斜面正應力公式 ，得
由斜面剪應力公式，得
習題9 求應力偏量張量的不變數
[解] 應力張量可分解為球形應力張量和應力偏量張量，
應力偏量張量，其主應力方程為，即
上述方程存在非零解的必要條件是係數行列式為零，即
得到關於的三次代數方程，
其中，和分別為應力偏量張量的第
一、第二、第三不變數
設，和為應力偏量張量的三個主值，則
習題11 設為二階對稱張量，證明由匯出的應力一定滿足無體力的平衡方程
[證明] 又關於，反對稱，關於，對稱
，即滿足無體力的平衡方程，－忽略體力下的平衡微分方程
習題12 已知直角座標系中各點的應力張量，試求體積力分量
[解] 根據平衡微分方程，得對誰偏導的問題
得體積力分量為
習題13 如圖1.3所示的三角形截面水壩，材料的比重為，承受著比重為液體的壓力，已求得應力解為，試根據直邊及斜邊上的表面條件確定係數,,和
[解] 如圖所示，建立平面直角座標系
水壩左側表面法線的方向余弦為，受外力的作用
根據應力邊界條件，，在處
水壩右側表面法線的方向余弦為，受外力的作用
根據應力邊界條件，，在處
由上述兩個方程組，得外力是如何確定的
習題14 如圖1.4所示的三角形截面水壩，其左側作用著比重為的液體，右側為自由表面，試寫出以應力分量表示的邊界條件。
[解] 如圖所示，建立平面直角座標系
水壩左側表面法線的方向余弦為，受外力的作用
根據應力邊界條件，，在處
水壩右側表面法線的方向余弦為，受外力的作用
根據應力邊界條件，，在處
周益春 材料固體力學習題解答
第七章粘彈塑性本構關係 1.應用kelvin模型，求圖所示組合的應力應變關係。解 如圖所示，總的應變是彈簧的應變和kelvin單元應變之和。因此 1 而2 對 1 式求導，有 再由 2 式得，再結合 1 式，可以求出 即為圖示組合應力應變關係。2.如圖所示一直杆，桿件材料服從如下本構關係 式中，為靜...
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