選修4_5 不等式選講
課題： 不等式的證明方法之一：比較法
目的要求： 掌握證明不等式的基本的解法之----比較法。
重點難點： 掌握作差比較和作商比較各自的使用情景
教學過程：
一、引入：
要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質：
二、典型例題：
例1、已知都是正數，且，求證：
例2、若實數，求證：
證明：採用作差比較法：
====∴∴討論：若題設中去掉這一限制條件，要求證的結論如何變換？
例3、已知求證
本題可以嘗試使用作差比較和作商比較兩種方法進行。
證明：1) 作差比較法：注意到要證的不等式關於對稱，不妨設
，從而原不等式得證。
2）作商比較法：設
故原不等式得證。
例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度行走，另一半時間以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點。
分析：設從出發地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為。要回答題目中的問題，只要比較的大小就可以了。
解：設從出發地點至指定地點的路程是，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為，根據題意有，，可得，，
從而，其中都是正數，且。於是，即。
從而知甲比乙首先到達指定地點。
討論：如果，甲、乙兩人誰先到達指定地點？
例5、設求證；對任意實數，恒有
1）證明考慮（1）式兩邊的差。
＝＝ （2）
即（1）式成立。
三、小結：
比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷。
四、練習：
五、作業：
1．比較下面各題中兩個代數式值的大小：
（1）與；（2）與.
2．已知求證：（1） （2）
3．若，求證
4．比較a4-b4與4a3(a-b)的大小．
解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)
= (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)
= - (a-b)2 (當且僅當d＝b時取等號)
∴a4-b44a3(a-b)。
5．比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小．
6．已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小．
7．如果x>0，比較與的大小．
8．已知a≠0，比較與的大小．
9．設x1，比較x3與x2-x+1的大小．
說明：「變形」是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是「變形」的常用方法。
課題： 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法
目的要求：掌握證明不等式的基本的解法之----綜合法和分析法。
重點難點： 掌握綜合法和分析法各自的使用情景
教學過程：
一、引入：
綜合法和分析法是數學中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由於兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這裡將其放在一起加以認識、學習，以便於對比研究兩種思路方法的特點。
所謂綜合法，即從已知條件出發，根據不等式的性質或已知的不等式，逐步推導出要證的不等式。而分析法，則是由結果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是「由因及果」，後一種是「執果索因」。
打乙個比方：張三在山里迷了路，救援人員從駐地出發，逐步尋找，直至找到他，這是「綜合法」；而張三自己找路，直至回到駐地，這是「分析法」。
以前得到的結論，可以作為證明的根據。特別的，是常常要用到的乙個重要不等式。
二、典型例題：
例1、都是正數。求證：
證明：由重要不等式可得
例2、。
分析：觀察欲證不等式的特點，左邊三項每一項都是兩個數平方和與另乙個數的乘積，右邊是三個數的乘積的六倍，這種結構啟示我們採用基本不等式的方法。
解：略以上兩例的證明都是綜合法，從已知條件出發，根據不等式的性質或已知的不等式，逐步推導出要證的不等式。但有的題目不易從結論出發，這就需要尋找另一種思路分析法，即由結果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知中，這就是分析法。
例3、已知a，b，m都是正數，並且求證1）
證明： 要證（1），只需證 （2）
要證（2），只需證3）
要證（3），只需證4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
例4、讀一讀：如果用或表示命題p可以推出命題q（命題q可以由命題p推出），那麼採用分析法的證法一就是 （1）
而採用綜合法的證法二就是
當問題比較複雜時，通常把綜合法和分析法結合起來使用，以分析法尋找證明解題思路，而用綜合法敘述、表達整個過程。如：
再看其他例題：
1.證明：。
證法一因為2）
3）4）
所以三式相加得5）
兩邊同時除以2即得（1）。
證法二因為
所以（1）成立。
2.證明1）
證明 （1） （2）
（3）4）5）
（5）顯然成立。因此（1）成立。
3.已知都是正數，求證並指出等號在什麼時候成立？
分析：本題可以考慮利用因式分解公式
著手。證明：
==由於都是正數，所以而，
可知 即（等號在時成立）
**：如果將不等式中的分別用來代替，並在兩邊同除以3，會得到怎樣的不等式？並利用得到的結果證明不等式：
，其中是互不相等的正數，且.
三、小結：
解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上（或減去）乙個數或代數式，移項，在不等式的兩邊同時乘以（或除以）乙個正數或乙個正的代數式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。
綜合法是「由因及果」，分析法是「執果索因」。當問題比較複雜時，通常把綜合法和分析法結合起來使用，以分析法尋找證明解題思路，而用綜合法敘述、表達整個過程。
四、練習：
1、已知求證：
2、已知求證
3、已知求證
4、已知求證：
（1）（2）
5、已知都是正數。求證：
（1） （2）
6、已知都是互不相等的正數，求證
五、作業：
課題： 不等式的證明方法之三：反證法
目的要求：掌握證明不等式的基本的解法之----反證法。
重點難點： 掌握反證法的使用情景和思考過程
教學過程：
一、引入：
前面所講的幾種方法，屬於不等式的直接證法。也就是說，直接從題設出發，經過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對於一些較複雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮採用間接證明的方法。
所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。
反證法在於表明：若肯定命題的條件而否定其結論，就會導致矛盾。具體地說，反證法不直接證明命題「若p則q」，而是先肯定命題的條件p，並否定命題的結論q，然後通過合理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結論是正確的。
利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：
第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；
第二步作出與所證不等式相反的假定；
第三步從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；
第四步斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所作的假定不正確，於是原證不等式成立。
二、典型例題：
例1、已知，求證：（且）
例2、設，求證
證明：假設，則有，從而
因為，所以，這與題設條件矛盾，所以，原不
等式成立。
例3、設二次函式，求證：中至少有乙個不小於.
證明：假設都小於，則
1） 另一方面，由絕對值不等式的性質，有
2） （1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。
注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數式中，至少有乙個滿足某個不等式時，通常採用反證法進行。
議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什麼特點？
例4、例 5、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0
證明：三、小結：
反證法主要適用於以下兩種情形：
(1)要證的結論與條件之間的聯絡不明顯,直接由條件推出結論的線索不夠清晰;
(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進行分類討論而從反面進行證明,只研究一種或很少的幾種情形
四、練習：
1、利用反證法證明：若已知a，b，m都是正數，並且，則
2、設0 < a, b, c < 2，求證：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同時大於1
五、作業：
課題： 不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式
目的要求：目的要求：掌握證明不等式的基本的解法之----放縮法。
重點難點： 掌握放縮法的使用情景和思考過程
教學過程：
一、引入：
所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當地放大（或縮小），使之得出明顯的不等量關係後，再應用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今後學習高等數學時用處更為廣泛。
下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。
二、典型例題：
例1、若是自然數，求證
證明：注意：實際上，我們在證明的過程中，已經得到乙個更強的結論，這恰恰在一定程度上體現了放縮法的基本思想。
證明不等式的基本方法二
綜合法與分析法1 教學目的 1掌握綜合法 分析法證明不等式 2熟練掌握已學的重要不等式 3增強學生的邏輯推理能力 教學重點 綜合法 分析法 教學難點 不等式性質的綜合運用 一 複習引入 1 重要不等式 如果2 定理 如果a,b是正數，那麼 3公式的等價變形 ab ab 2 4 2 ab 0 當且僅當...
選修4 5不等式選講第二節證明不等式的基本方法
1 比較法 1 作差比較法 理論依據 a ba b 0 a ba b 0.證明步驟 作差 變形 判斷符號 得出結論 2 作商比較法 理論依據 b 0，1a b b 0，1a b.證明步驟 作商 變形 判斷與1的大小關係 得出結論 2 綜合法 1 定義 從已知條件出發，利用定義 公理 定理 性質等，經...
不等式證明的基本方法
1 已知a b x y均為正實數，且 x y.求證 證明 又 且a b均為正實數，b a 0.又x y 0，bx ay.0，即 2 已知a，b，c均為正數，證明 a2 b2 c2 2 6，並確定a，b，c為何值時，等號成立 證明 法一 因為a，b，c均為正數，由平均值不等式得 a2 b2 c2 3 ...