1．比較法
(1)作差比較法
①理論依據：a＞ba－b＞0；
a＜ba－b＜0.
②證明步驟：作差→變形→判斷符號→得出結論．
(2)作商比較法
①理論依據：b＞0，＞1a＞b；
b＜0，＞1a＜b.
②證明步驟：作商→變形→判斷與1的大小關係→得出結論．
2．綜合法
(1)定義：從已知條件出發，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法又叫順推證法或由因導果法．
(2)思路：綜合法的思索路線是「由因導果」，也就是從乙個(組)已知的不等式出發，不斷地用必要條件代替前面的不等式，直至推導出要求證明的不等式．
(3)利用綜合法證明不等式時，應注意對已證不等式的使用，常用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab，它的變形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥()2等；
(4)≥，它的變形形式又有
a＋≥2(a＞0)，＋≥2(ab＞0)，＋≤－2(ab＜0)等．
3．分析法
(1)定義：從要證的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或乙個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法．
(2)思路：分析法的思索路線是「執果索因」，即從要證的不等式出發，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直至找到已知不等式為止．
(3)用分析法證「若a則b」這個命題的模式是：為了證明命題b為真，
只需證明命題b1為真，從而有……
只需證明命題b2為真，從而有….
……只需證明命題a為真，而已知a為真，故b必真．
4．反證法
先假設要證的命題不成立，以此為出發點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設錯誤，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法．
反證法主要適用於以下兩種情形：
(1)要證的結論與條件之間的聯絡不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；
(2)如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只研究一種或很少的幾種情形．
5．放縮法
證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法．
1．已知0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2，a1≠b1，則關於三個數：a1b1＋a2b2；a1b2＋a2b1；a1a2＋b1b2的大小關係說法：①a1b1＋a2b2最大；②a1b2＋a2b1最小；③a1a2＋b1b2最小；④a1b2＋a2b1與a1a2＋b1b2大小不能確定，其中正確的是________．
解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)
＝(a1－a2)(b1－b2)＞0，
∴a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1.
∵(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝(a1－b1)(b2－a2)
＝(a1－b1)2＞0，
∴a1b2＋a2b1＞a1a2＋b1b2，故①③正確．
答案：①③
2．設p＝，q＝－，r＝－，則p、q、r的大小順序是________．
解析：∵＋＝2＞，
∴＞－，即p＞r；
又∵＋＞＋，
∴－＞－，即r＞q；
故有p＞r＞q.
答案：p＞r＞q
3．若x，y，z是正數，且滿足xyz(x＋y＋z)＝1，則(x＋y)(y＋z)的最小值是________．
解析：(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz
＝y(x＋y＋z)＋xz≥2＝2.
答案：2
4．若不等式＞|a－5|＋1對一切非零實數x均成立，則實數a的取值範圍是________．
解析：＝|x|＋≥2＝2，故應有2＞|a－5|＋1，即|a－5|＜1，因此4＜a＜6.
答案：4＜a＜6
5．已知a＞b＞c＞d，則(a－d)的最小值為________．
解析：原式＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3×3＝9.
答案：9
求證：(1)當x∈r時，1＋2x4≥2x3＋x2；
(2)當a，b∈r＋時，aabb≥(ab) .
【證明】 (1)法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)
＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)
＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]
＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)2[2(x＋)2＋]≥0，
∴1＋2x4≥2x3＋x2.
法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0
∴1＋2x4≥2x3＋x2.
(2)＝ab＝()，
當a＝b時，()＝1.
當a＞b＞0時，
＞1，＞0，()＞1.
當b＞a＞0時，
0＜＜1，＜0，()＞1.
∴aabb≥(ab) .
【點評】 用比較法證明不等式的一般步驟是：作差(商)－變形－判斷－結論，而變形的方法一般有配方法、通分和因式分解．
1．(2023年江蘇卷)設a，b是非負實數，求證a3＋b3≥(a2＋b2)．
證明：a3＋b3－(a2＋b2)
＝(a3－a2)＋(b3－b2)
＝a2 (－)－b2 (－)
＝(－)·(－)．
當a≥b時，≥且≥，
當a＜b時，＜且＜，
∴a3＋b3－(a2＋b2)≥0，
∴a3＋b3≥(a2＋b2).
已知a＞0，
求證：－≥a＋－2.
【證明】 要證原不等式成立，只需證
＋2≥a＋＋，
即證a2＋＋4＋4
≥(a＋)2＋2 (a＋)＋2，
只需證·≥(a＋)，
即證2(a2＋)≥a2＋＋2，
只需證a2＋≥2.
由基本不等式知a2＋≥2，上式顯然成立．
∴原不等式成立．
【點評】 分析法又叫逆推證法或執果索因法．是從要證明的不等式出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最後把要證明的不等式歸結為判定乙個明顯成立的不等式為止．
2．已知a＞b＞0，求證：＜－＜.
證明：欲證＜－＜，
只需證＜＜.
∵a＞b＞0，
∴只需證＜＜，
即＜1＜.
欲證＜1，只需證＋＜2，
即＜.該式顯然成立．
欲證1＜，只需證2＜＋，
即＜.該式顯然成立．
∴＜1＜成立，且以上各步都可逆．
∴＜－＜成立.
-- 已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，
求證：c－＜a＜c＋.
【證明】 因為a＋b＜2c，所以a－2c＜－b.
又因為a＞0，所以a2－2ac＜－ab，
所以(a－c)2＜c2－ab，
所以|a－c|＜，
所以－＜a－c＜，
所以c－＜a＜c＋.
【點評】 綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單，條理清楚．所以在實際證題時，要常把分析法和綜合法結合起來使用．
3．已知a、b∈(0＋∞)，且a＋b＝1，求證：
(1)＋＋≥8；
(2)a2＋b2≥；
證明：由
得≤ab≤≥4.
(1)∵＋＋＝(a＋b)(＋)＋
≥2·2＋4＝4＋4＝8，
∴＋＋≥8.
(2)∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab
≥1－2×＝，
∴a2＋b2≥.
已知a＞2，求證：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
【證明】 ∵a＞2，∴a－1＞1.
∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0.
∵＝loga(a－1)·loga(a＋1)＜2，
∵2＝2＜()2＝1，
∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
【點評】 (1)本題所用的證明方法叫放縮法．在不等式的證明中，「放」和「縮」是常用的推證技巧．「放」和「縮」的方向與「放」和「縮」的量的大小是由題目分析得出的．常見的放縮變換有變換分式的分子和分母，如：＜，＞，＜，＞(k∈n*，k＞1)．利用函式的單調性，真分數性質「若0＜a＜b，m＞0，則＜」，新增或減少項，利用有界性等．
(2)在放縮法證明不等式時，「放」和「縮」均有乙個度．
4．設m是|a|，|b|和1中最大的乙個，當|x|＞m時，求證：|＋|＜2.
證明：由已知m≥|a|，m≥|b|，m≥1.
又|x|＞m，∴|x|＞|a|，|x|＞|b|，|x|＞1，
＝＋＜＋
＝1＋＜1＋＝2.
∴|＋|＜2成立．
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