高中數學函式知識點總結
1. 對於集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的「確定性、互異性、無序性」。
中元素各表示什麼?
a表示函式y=lgx的定義域,b表示的是值域,而c表示的卻是函式上的點的軌跡
2 進行集合的交、並、補運算時,不要忘記集合本身和空集的特殊情況
注重借助於數軸和文氏**集合問題。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
顯然,這裡很容易解出a=.而b最多只有乙個元素。故b只能是-1或者3。
根據條件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是, 這裡千萬小心,還有乙個b為空集的情況,也就是a=0,不要把它搞忘記了。
3. 注意下列性質:
要知道它的來歷:若b為a的子集,則對於元素a1來說,有2種選擇(在或者不在)。同樣,對於元素a2, a3,……an,都有2種選擇,所以,總共有種選擇, 即集合a有個子集。
當然,我們也要注意到,這種情況之中,包含了這n個元素全部在何全部不在的情況,故真子集個數為,非空真子集個數為
(3)德摩根定律:
有些版本可能是這種寫法,遇到後要能夠看懂
4. 你會用補集思想解決問題嗎?(排除法、間接法)
的取值範圍。
注意,有時候由集合本身就可以得到大量資訊,做題時不要錯過; 如告訴你函式f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在上單調遞減,在上單調遞增,就應該馬上知道函式對稱軸是x=1.或者,我說在上 ,也應該馬上可以想到m,n實際上就是方程的2個根
5、熟悉命題的幾種形式、
命題的四種形式及其相互關係是什麼?
(互為逆否關係的命題是等價命題。)
原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。
6、熟悉充要條件的性質(高考經常考)
滿足條件,滿足條件,
若則是的充分非必要條件;
若則是的必要非充分條件;
若則是的充要條件;
若則是的既非充分又非必要條件;
7. 對對映的概念了解嗎?對映f:a→b,是否注意到a中元素的任意性和b中與之對應元素的唯一性,哪幾種對應能構成對映?
(一對一,多對一,允許b中有元素無原象。)
注意對映個數的求法。如集合a中有m個元素,集合b中有n個元素,則從a到b的對映個數有nm個。
如:若,;問:到的對映有個,到的對映有個;到的函式有個,若,則到的一一對映有個。
函式的圖象與直線交點的個數為個。
8. 函式的三要素是什麼?如何比較兩個函式是否相同?
(定義域、對應法則、值域)
相同函式的判斷方法:①表示式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)
9. 求函式的定義域有哪些常見型別?
函式定義域求法:
● 分式中的分母不為零;
● 偶次方根下的數(或式)大於或等於零;
● 指數式的底數大於零且不等於一;
● 對數式的底數大於零且不等於一,真數大於零。
● 正切函式
● 餘切函式
● 反三角函式的定義域
函式y=arcsinx的定義域是 [-1, 1] ,值域是,函式y=arccosx的定義域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函式y=arctgx的定義域是 r ,值域是.,函式y=arcctgx的定義域是 r ,值域是 (0, π) .
當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時,先分別求出滿足每乙個條件的自變數的範圍,再取他們的交集,就得到函式的定義域。
10. 如何求復合函式的定義域?
義域是復合函式定義域的求法:已知的定義域為,求的定義域,可由解出x的範圍,即為的定義域。
例若函式的定義域為,則的定義域為
分析:由函式的定義域為可知:;所以中有。
解:依題意知
解之,得
∴ 的定義域為
11、函式值域的求法
1、直接觀察法
對於一些比較簡單的函式,其值域可通過觀察得到。
例求函式y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函式值域最基本的方法之一。
例、求函式y=-2x+5,x [-1,2]的值域。
3、判別式法
對二次函式或者分式函式(分子或分母中有乙個是二次)都可通用,但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡,不必拘泥在判別式上面
下面,我把這一型別的詳細寫出來,希望大家能夠看懂
4、反函式法
直接求函式的值域困難時,可以通過求其原函式的定義域來確定原函式的值域。
例求函式y=值域。
5、函式有界性法
直接求函式的值域困難時,可以利用已學過函式的有界性,來確定函式的值域。我們所說的單調性,最常用的就是三角函式的單調性。
例求函式y=,,的值域。
6、函式單調性法
通常和導數結合,是最近高考考的較多的乙個內容
例求函式y=(2≤x≤10)的值域
7、換元法
通過簡單的換元把乙個函式變為簡單函式,其題型特徵是函式解析式含有根式或三角
函式公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一,在求函式的值域中同樣發
揮作用。
例求函式y=x+的值域。
8 數形結合法
其題型是函式解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離公式直線斜率等等,這
類題目若運用數形結合法,往往會更加簡單,一目了然,賞心悅目。
例:已知點p(x.y)在圓x2+y2=1上,
例求函式y=+的值域。
解:原函式可化簡得:y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成數軸上點p(x)到定點a(2),b(-8)間的距離之和。
由上圖可知:當點p**段ab上時,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣ab∣=10
當點p**段ab的延長線或反向延長線上時,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣ab∣=10
故所求函式的值域為:[10,+∞)
例求函式y=+的值域
解:原函式可變形為:y=+
上式可看成x軸上的點p(x,0)到兩定點a(3,2),b(-2,-1)的距離之和,
由圖可知當點p為線段與x軸的交點時y=∣ab∣==,
故所求函式的值域為[,+∞)。
注:求兩距離之和時,要將函式
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2,a+b+c≥3(a,b,c∈),求函式的最值,其題型特徵解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。
例:倒數法
有時,直接看不出函式的值域時,把它倒過來之後,你會發現另一番境況
例求函式y=的值域
多種方法綜合運用
總之,在具體求某個函式的值域時,首先要仔細、認真觀察其題型特徵,然後再選擇恰當的方法,一般優先考慮直接法,函式單調性法和基本不等式法,然後才考慮用其他各種特殊方法。
12. 求乙個函式的解析式或乙個函式的反函式時,註明函式的定義域了嗎?
切記:做題,特別是做大題時, 一定要注意附加條件,如定義域、單位等東西要記得協商,不要犯我當年的錯誤,與到手的滿分失之交臂
13. 反函式存在的條件是什麼?
(一一對應函式)
求反函式的步驟掌握了嗎?
(①反解x;②互換x、y;③註明定義域)
在更多時候,反函式的求法只是在選擇題**現,這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題:
(2004.全國理)函式的反函式是( b )
a.y=x2-2x+2(x<1) b.y=x2-2x+2(x≥1)
c.y=x2-2x (x<1) d.y=x2-2x (x≥1)
當然,心情好的同學,可以自己慢慢的計算,我想, 一番心血之後,如果不出現計算問題的話,答案還是可以做出來的。可惜,這個不合我胃口,因為我一向懶散慣了,不習慣計算。下面請看一下我的思路:
原函式定義域為 x〉=1,那反函式值域也為y>=1. 排除選項c,d.現在看值域。原函式至於為y>=1,則反函式定義域為x>=1, 答案為b.
我題目已經做完了, 好像沒有動筆(除非你拿來寫*書)。思路能不能明白呢?
14. 反函式的性質有哪些?
反函式性質:
1、 反函式的定義域是原函式的值域 (可擴充套件為反函式中的x對應原函式中的y)
2、 反函式的值域是原函式的定義域(可擴充套件為反函式中的y對應原函式中的x)
3、 反函式的影象和原函式關於直線y=x對稱(難怪點(x,y)和點(y,x)關於直線y=x對稱
①互為反函式的圖象關於直線y=x對稱;
②儲存了原來函式的單調性、奇函式性;
由反函式的性質,可以快速的解出很多比較麻煩的題目,如
(04. 上海春季高考)已知函式,則方程的解
15 . 如何用定義證明函式的單調性?
(取值、作差、判正負)
判斷函式單調性的方法有三種:
(1)定義法:
根據定義,設任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之間的大小關係
可以變形為求的正負號或者與1的關係
(2)參照圖象:
①若函式f(x)的圖象關於點(a,b)對稱,函式f(x)在關於點(a,0)的對稱區間具有相同的單調性; (特例:奇函式)
②若函式f(x)的圖象關於直線x=a對稱,則函式f(x)在關於點(a,0)的對稱區間裡具有相反的單調性。(特例:偶函式)
(3)利用單調函式的性質:
①函式f(x)與f(x)+c(c是常數)是同向變化的
②函式f(x)與cf(x)(c是常數),當c>0時,它們是同向變化的;當c<0時,它們是反向變化的。
③如果函式f1(x),f2(x)同向變化,則函式f1(x)+f2(x)和它們同向變化;(函式相加)
④如果正值函式f1(x),f2(x)同向變化,則函式f1(x)f2(x)和它們同向變化;如果負值函式f1(2)與f2(x)同向變化,則函式f1(x)f2(x)和它們反向變化;(函式相乘)
⑤函式f(x)與在f(x)的同號區間裡反向變化。
⑥若函式u=φ(x),x[α,β]與函式y=f(u),u或u同向變化,則在[α,β]上覆合函式y=f[φ(x)]是遞增的;若函式u=φ(x),x[α,β]與函式y=f(u),u或u反向變化,則在[α,β]上覆合函式y=f[φ(x)]是遞減的。(同增異減)
高考數學總結 函式
高中數學 函式 考試內容 數學探索版權所有對映 函式 函式的單調性 奇偶性 數學探索版權所有反函式 互為反函式的函式影象間的關係 數學探索版權所有指數概念的擴充 有理指數冪的運算性質 指數函式 數學探索版權所有對數 對數的運算性質 對數函式 數學探索版權所有函式的應用 數學探索版權所有考試要求 數學...
一元二次函式超強總結
1.已知二次函式的圖象如圖所示,有以下結論其中所有正確結論的序號是 a bcd 第一題第二題 2.二次函式的圖象如圖所示,則下列關係式中錯誤的是 a a 0 b c 0 c 0 d 0 3.二次函式y ax2 bx c的影象如圖所示,則關於此二次函式的下列四個結論 a 0 a 0 b2 4ac 0 ...
中考數學二次函式專題複習超強整理
初三 二次函式歸類複習 一 二次函式與面積 七 二次函式與圖形轉換 常見影象變換 平移 上加下減,左加右減 軸對稱 摺疊 模擬題訓練 8 2014西城區一模 拋物線y x2 kx 3與x軸交於點a,b,與y軸交於點c,其中點b的座標為 1 k,0 1 求拋物線對應的函式表示式 2 將 1 中的拋物線...