二次函式在閉區間上的最值
一、 知識要點:
一元二次函式的區間最值問題,核心是函式對稱軸與給定區間的相對位置關係的討論。一般分為:對稱軸在區間的左邊,中間,右邊三種情況.
設,求在上的最大值與最小值。
分析:將配方,得頂點為、對稱軸為
當時,它的圖象是開口向上的拋物線,數形結合可得在[m,n]上的最值:
(1)當時,的最小值是的最大值是中的較大者。
(2)當時
若,由在上是增函式則的最小值是,最大值是
若,由在上是減函式則的最大值是,最小值是
當時,可模擬得結論。
二、例題分析歸類:
(一)、正向型
是指已知二次函式和定義域區間,求其最值。對稱軸與定義域區間的相互位置關係的討論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括以下四種情形:
(1)軸定,區間定;(2)軸定,區間變;(3)軸變,區間定;(4)軸變,區間變。
1. 軸定區間定
二次函式是給定的,給出的定義域區間也是固定的,我們稱這種情況是「定二次函式在定區間上的最值」。
例1. 函式在區間[0,3]上的最大值是最小值是_______。
練習. 已知,求函式的最值。
2、軸定區間變
二次函式是確定的,但它的定義域區間是隨引數而變化的,我們稱這種情況是「定函式在動區間上的最值」。
例2. 如果函式定義在區間上,求的最值。
例3. 已知,當時,求的最值.
對二次函式的區間最值結合函式圖象總結如下:
當時當時3、軸變區間定
二次函式隨著引數的變化而變化,即其圖象是運動的,但定義域區間是固定的,我們稱這種情況是「動二次函式在定區間上的最值」。
例4. 已知,且,求函式的最值。
例5. (1) 求在區間[-1,2]上的最大值。
(2) 求函式在上的最大值。
4. 軸變區間變
二次函式是含引數的函式,而定義域區間也是變化的,我們稱這種情況是「動二次函式在動區間上的最值」。
例6. 已知,求的最小值。
(二)、逆向型
是指已知二次函式在某區間上的最值,求函式或區間中引數的取值。
例7. 已知函式在區間上的最大值為4,求實數a的值。
例8.已知函式在區間上的最小值是3最大值是3,求,的值。
例9. 已知二次函式在區間上的最大值為3,求實數a的值。二次函式在閉區間上的最值專題演練
1. 若函式恆成立,則a的取值範圍( )
a. b. c. d.
2.. 已知函式內單調遞減,則a取( )
abc. <-3d.
3. 已知函式上是單調函式,求k的取值範圍。
4. 已知函式的最大值為m,最小值為m,則m+m
5. 已知函式上的最小值為3,求a的值。
6.求函式的單調區間。
7. 已知函式若,有恆成立,求a的取值範圍。
8. 已知函式,當時是減函式,求m的取值範圍。
9. 已知函式的定義域為r,求a的取值範圍。
10. 已知函式:
(1)若,求f(x)的最小值。
(2)若,求f(x)的最小值。
(3)若,求f(x)的最小值。
11. 已知函式,求上的最大值。
12. 已知函式,求上的最值。
13.已知,在區間上的最大值為,求的最小值。
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二次函式知識點典型題
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