函式的定義域及求法
1、 分式的分母中，；偶次方根的被開方數≥0；在中，即：0次冪底數不為0
1、 2、 對數函式的真數＞0；對數函式的底數＞0且≠1；
3、 正切函式：x ≠ kπ + π/2 ,k∈z；餘切函式：x ≠ kπ ,k∈z ；
4、 一次函式、二次函式、指數函式的定義域為r；
5、 定義域的相關求法：
（1）解析式為整式時，x取任何實數；
（2）當解析式為分式時，x取分母不為零的實數
（3）利用函式的圖象（或數軸）法；
（4）利用其反函式的值域法；
（5）當解析式為偶次根式時，x取被開方數為非負數的實數
（6）當解析式為復合表示式時，首先逐個列出不等式，求出各部分的允許取值範圍，再求其公共部分。
6、反三角函式的定義域
函式y＝arcsinx的定義域是[－1，1]，值域是；
函式y＝arccosx的定義域是[－1，1]，值域是[0，π] ；
函式y＝arctgx的定義域是r，值域是；
函式y＝arcctgx的定義域是r，值域是(0，π)。
7、 復合函式定義域的求法：推理、取交集及分類討論．
若函式f（x）的定義域是a，則函式的定義域相當於求：使得的x的取值範圍；（2）若函式的定義域是a，則f（x）的定義域相當於求：當中xa時，的值域。
8、當解析式涉及到具體應用問題時，視具體應用問題而定。
如果使用函式反映實際問題時，自變數的取值除表示函式的數字式子有意義之外，還必須使實際問題有意義。
典型例題：
例1求下列函式的定義域 (1)y=-5x2， (2) y=3x+5，
解：（1）x為一切實數；（2）x為一切實數
例2．求下列函式的定義域（1）y= （2） y=
解：（1）∵x-1≠0 ∴函式的定義域是x≠1的實數。
（2）∵1+3x≠0 ∴函式的定義域是x≠-的實數。，
例3．求下列函式的定義域
（1）y=，（2）y=，（3）y=
解：（1）∵3- x≥0，∴x≤3
（2）∵2x+4≥0 ∴x≥-2
（3）∵，∴x≥-4
例4．求下列函式的定義域
（1）y= (2)y= (3)y= (4)y=
解：（1）∵∴∴且x≠4 .
（2）∵1-5 x>0 ∴ x< .
(3) ∵∴x>2且x≠3.
(4) ∵
例5．小明帶了10元錢去買鉛筆，鉛筆每支售價0.38元，小明共買了x支，餘下的錢是y元, 求y關於x的函式解析式,並指出x的取值範圍。
解：依題意，y關於x的函式解析式為：y=10-0.38x
當y=0時， 即10-0.38x=0， ∴ x=26.3
∵鉛筆的可數性
∴x的取值範圍為：0注意： 如何求x的最大值呢，當10元錢全買了鉛筆，即餘錢為零時，x為最大值。而且考慮到鉛筆的可數性，所以x應取整數。
例6．已知等腰三角形的周長為17cm，寫出它的底邊長ycm與腰長xcm之間的函式關係式？並指出函式的定義域。
解：由題意：y+2x=17
∴y=17-2x
∵y>0 ，即 17-2x>0 ∴x<8.5
又 ∵三角形兩邊之和大於第三邊
∴x+x>y ，又y=17-2x
∴2x>17-2x，解得 x>4.25
∴x的取值範圍為 4.25 cm 總結： 當底邊為y, 腰長為x時, x的定義域為：周長例7、已知函式的定義域為，求的定義域．
分析：該函式是由和構成的復合函式，其中是自變數，是中間變數，由於與是同乙個函式，因此這裡是已知，即，求的取值範圍．
解：的定義域為，，．
故函式的定義域為．
例8 已知函式的定義域為，求函式的定義域．
分析：令，則，
由於與是同一函式，因此的取值範圍即為的定義域．
解：由，得．
令，則，．
故的定義域為．
例9 若的定義域為，求的定義域．
解：由的定義域為，則必有解得．
所以函式的定義域為．
例10已知函式的定義域為求實數的取值範圍。
分析：函式的定義域為，表明，使一切都成立，由項的係數是，所以應分或進行討論。
解：當時，函式的定義域為；
當時，是二次不等式，其對一切實數都成立的充要條件是
綜上可知。
評注：不少學生容易忽略的情況，希望通過此例解決問題。
例11已知函式的定義域是，求實數的取值範圍。
解：要使函式有意義，則必須恆成立，
因為的定義域為，即無實數解
當時，恆成立，解得；
當時，方程左邊恆成立。
綜上的取值範圍是。
例12、求復合函式的定義域
例13、已知函式y=lg(mx2-4mx+m+3)的定義域為r，求實數m的取值範圍．
[解析]：[利用復合函式的定義域進行分類討論]
當m=0時，則mx2-4mx+m+3=3，→ 原函式的定義域為r；
當m≠0時，則 mx2-4mx+m+3＞0，
①m＜0時，顯然原函式定義域不為r；
②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 時，即０＜m＜１，原函式定義域為r， 所以當m∈[0,1) 時，原函式定義域為r．
例14、求函式y=log2x + 1 (x≥4) 的反函式的定義域．
[解析]：［求原函式的值域］
由題意可知，即求原函式的值域，
∵x≥4, ∴log2x≥2 ∴y≥3
所以函式y=log2x + 1 (x≥4) 的反函式的定義域是[3，+∞)．
例15、 函式f(2x)的定義域是[-1，1]，求f(log2x)的定義域．
[解析]：由題意可知2-1≤2x≤21 → f(x)定義域為[1/2，2]
→ 1/2≤log2x≤2 → √￣2≤x≤4．
所以f(log2x)的定義域是[√￣2,4]．
函式值域定義域方法總結
一 定義域是函式y f x 中的自變數x的範圍。求函式的定義域需要從這幾個方面入手 1 分母不為零 2 偶次根式的被開方數非負。3 對數中的真數部分大於0。4 指數 對數的底數大於0，且不等於1 5 y tanx中x k 2 y cotx中x k 等等。6 中x 二 值域是函式y f x 中y的取值...
函式定義域求法總結
一 定義域是函式y f x 中的自變數x的範圍。1 分母不為零 2 偶次根式的被開方數非負。3 對數中的真數部分大於0。4 指數 對數的底數大於0，且不等於1 5 y tanx中x k 2 y cotx中x k 等等。6 中x 二 抽象函式的定義域 1.已知的定義域，求復合函式的定義域 由復合函式的...
函式定義域求法總結
陝西漢中市405學校侯有岐 723312 函式作為高中數學的主線,貫穿於高中數學的始終.函式的定義域是構成函式的三大要素之一,是函式的靈魂.函式的定義域在函式的概念中指函式對應關係中的原象的集合,即自變數的取值範圍.研究函式時首先要考慮定義域,忽視定義域往往會導致錯誤.本文主要介紹函式定義域求法的幾...