階段性綜合檢測(二)
(必做題部分：時間120分鐘，滿分160)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，把答案填在題中橫線上)
1．設α、β、γ為兩兩不重合的平面，l、m、n為兩兩不重合的直線．給出下列四個命題：
①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；
②若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥β；
③若α∥β，lα，則l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.
其中真命題的個數是________．
解析：①∵垂直於同乙個平面的兩個平面也可以相交，如牆角，∴該命題不對；②m、n相交時才有α∥β，此命題不對；③由麵麵平行的性質定理可知該命題正確；④∵l∥γ，β∩γ＝m，lβ，∴l∥m，又α∩β＝l，且mβ，∴m∥α，又mγ且γ∩α＝n，∴m∥n，∴有l∥n故④對．
答案：2
2．(2023年黃岡質檢)直線x＋ay＋6＝0與直線(a－2)x＋3y＋2a＝0平行的充要條件是________．
解析：若兩直線平行，則a(a－2)＝1×3，且1×2a≠(a－2)×6，解得a＝－1.
答案：a＝－1
3．乙個圓錐的側面展開圖是圓心角為π，半徑為18 cm的扇形，則圓錐母線與底面所成角的余弦值為________．
解析：設母線長為l，底面半徑為r，則依題意易知l＝18 cm，由θ＝，代入資料即可得r＝12 cm，因此所求角的余弦值即為＝＝.
答案：4．與x2＋(y－2)2＝1相切，且在兩座標軸上截距相等的直線有________條．
解析：直線過原點時，設直線方程為y＝kx，則＝1，所以k＝±，有兩條直線；當直線不過原點時，設直線方程為x＋y＝a，則a＝2±，有兩條直線，所以共四條．
答案：4
5．(2023年青島第一次質檢)如圖所示，b、c在平面α內，a∩c＝b，b∩c＝a，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若c∈a，d∈b，e**段ab上(c，d，e均異於a，b)，則△cde的形狀是________．
答案：鈍角三角形
6．將一張座標紙摺疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n
解析：由題意，可知紙的摺痕應是點(0,2)與點(4,0)間線段的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)間線段的中垂線，於是，所以，
故m＋n＝.
答案：7．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形abcd為正方形，e、f分別為pa、pd的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論：
①直線be與直線cf是異面直線；
②直線be與直線af是異面直線；
③直線ef∥平面pbc；
④平面bce⊥平面pad.
其中正確結論的序號是________．
解析：由ef∥ad∥bc，知be、cf共面，①錯；②正確；③正確；④錯．
答案：②③
8．設直線ax＋by＋c＝0的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝0，則a、b滿足________．
解析：由sinα＋cosα＝0得k＝tanα＝－1.
由ax＋by＋c＝0得y＝－x－，
∴k＝－，故k＝－＝－1，∴a－b＝0.
答案：a－b＝0
9．在乙個錐體中，作平行於底面的截面，若這個截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為________．
解析：設截面半徑和底面半徑分別為r1、r2，由於面積比為1∶3，則r1∶r2＝1∶.設圓錐體高為h，體積為v，上部分高為h1，體積為v1，則由相似形可證h1∶h＝1∶，
則v1∶v＝r12h1∶r22h＝1∶3，
則v1∶(v－v1)＝1∶(3－1)．
答案：1∶(3－1)
10．在空間直角座標系o－xyz中，過點m(－4，－2,3)作直線om的垂線l，則直線l與平面oxy的交點p(x，y,0)的座標滿足條件________．
解析：由題意，得om⊥pm，∴·＝0，即(－4，－2,3)·(x＋4，y＋2，－3)＝0，化簡整理得4x＋2y＋29＝0.
答案：4x＋2y＋29＝0
11．在乙個倒置的正三稜錐容器中，放入乙個鋼球，鋼球恰好與稜錐的四個面都接觸，經過稜錐的一條側稜和高作截面，正確的截面圖為________．
解析：由對稱性易知球是與稜錐各個面上的高都相切，與稜是相離的，而易知截面三角形的三邊分別是一稜及兩高，因此可知截面中圓與兩邊相切，與一邊相離，而且相離的邊必為稜，而稜的長必定比兩高要長，所以相離的邊應為長邊．
答案：②
12．(2023年高考浙江卷改編)已知三角形的三邊長分別為3,4,5，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為個．
解析：邊長為3,4,5的三角形內切圓半徑為r＝＝1.而半徑為1的圓的圓心在圓心與三角形任一頂點的連線上移動時，都會產生4個交點．
答案：4
13．如圖，已知正四稜臺abcd－a1b1c1d1的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則線段b1c的長是________．
解析：鏈結上底面對角線b1d1的中點o1和下底面bd的中點o，得稜臺的高oo1，過點b1作oo1的平行線交bd於點e，鏈結ce，在△bce中，由bc＝2，be＝，∠cbe＝45°，利用餘弦定理可得ce＝，故在rt△b1ce中易得b1c＝＝.
答案：14．(2023年高考天津卷)已知圓c的圓心與點p(－2,1)關於直線y＝x＋1對稱．直線3x＋4y－11＝0與圓c相交於a，b兩點，且|ab|＝6，則圓c的方程為________．
解析：先求出圓心c(x0，y0)座標．
解得令圓半徑為r，(0，－1)到3x＋4y－11＝0的距離d＝3，
∴r2＝32＋32＝18，
∴x2＋(y＋1)2＝18.
答案：x2＋(y＋1)2＝18
二、解答題(本大題共有6小題，共90分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分14分)在四稜錐p－abcd中，ad⊥ab，cd∥ab，pd⊥底面abcd，＝，直線pa與底面abcd成60°角，點m，n分別是pa，pb的中點．
(1)求證：mn∥平面abcd；
(2)如果△cdn為直角三角形，求的值．
解：(1)證明：由條件知mn∥ab，而ab平面abcd，
mn平面abcd，所以mn∥平面abcd.
(2)①若∠cdn＝90°，與cd⊥平面pad，cd⊥dm矛盾，所以不可能；
②若∠dcn＝90°，則四邊形mncd為矩形，
設ab＝a，則cd＝mn＝a，可得＝；
③若∠dnc＝90°，則設ab＝a，
由已知有rt△mdn∽rt△ncd，
可得＝.
16．(本小題滿分14分)已知△abc中，點a(1,2)，ab邊和ac邊上的中線方程分別是5x－3y－3＝0和7x－3y－5＝0，求bc所在的直線方程的一般式．
解：設c點座標為(a，b)，
因為點c在ab邊的中線上，所以有5a－3b－3＝0，ac的中點座標為(，)，
又因為ac的中點在ac邊的中線上，所以有7×－3×－5＝0，聯立解得c(3,4)，
同理，可得b(－1，－4)，
則bc的方程是：2x－y－2＝0.
17．(本小題滿分14分)(2023年深圳市高三調研)
在直三稜柱abc－a1b1c1中，ad⊥平面a1bc，其垂足d落在直線a1b上，p為ac的中點．
(1)求證：bc⊥a1b；
(2)若ad＝，ab＝bc＝2，求三稜錐p－a1bc的體積．
解：(1)證明：∵三稜柱abc－a1b1c1為直三稜柱，
∴a1a⊥平面abc，
又bc平面abc，∴a1a⊥bc，
∵ad⊥平面a1bc，且bc平面a1bc，∴ad⊥bc.
又aa1平面a1ab，ad平面a1ab，a1a∩ad＝a，
∴bc⊥平面a1ab，
又a1b平面a1bc，∴bc⊥a1b.
(2)在直三稜柱abc－a1b1c1中，a1a⊥ab.
∵ad⊥平面a1bc，其垂足d落在直線a1b上，
∴ad⊥a1b.
在rt△abd中，ad＝，ab＝bc＝2，
sin∠abd＝＝，∴∠abd＝60°.
在rt△aba1中，aa1＝ab·tan60°＝2，
由(1)知bc⊥平面a1ab，ab平面a1ab，從而bc⊥ab，
s△abc＝ab·bc＝×2×2＝2.
∵p為ac的中點，s△bcp＝s△abc＝1，
∴vp－a1bc＝va1－bcp＝s△bcp·a1a＝×1×2＝.
18．(本小題滿分16分)圓心在直線y＝2x＋1上，且到x軸的距離恰好等於圓的半徑，在y軸上截得的弦長為2，求此圓的方程．
解：設(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圓心(a，b)在直線y＝2x＋1上，∴有b＝2a＋1.①
又圓心到x軸的距離|b|恰好等於圓的半徑r，
∴有|b|＝r.②
在y軸上截得的弦長為2.
∴()2＋|a|2＝r2.③
聯立①②③得
(2a＋1)2－a2－5＝0，
或∴所求圓的方程為(x＋2)2＋(y＋3)2＝9
或2＋2＝.
19．(本小題滿分16分)如圖，a1a是圓柱的母線，ab是圓柱底面圓的直徑，c是底面圓周上異於a，b的任意一點，aa1＝ab＝2.
(1)求證：bc⊥平面a1ac；
(2)求三稜錐a1－abc的體積的最大值．
解：(1)證明：∵c是底面圓周上異於a、b的一點，且ab為底面圓的直徑，
∴bc⊥ac.
∵aa1⊥平面abc，bc平面abc，∴aa1⊥bc.
∵aa1∩ac＝a，aa1平面a1ac，ac平面a1ac，
∴bc⊥平面a1ac.
(2)法一：設ac＝x，在rt△abc中，
bc＝＝(0故va1－abc＝s△abc·aa1＝··ac·bc·aa1
＝x (0即va1－abc＝x＝
＝.∵0∴當x2＝2，即x＝時，三稜錐a1－abc的體積的最大值為.
法二：在rt△abc中，ac2＋bc2＝ab2＝4，
va1－abc＝s△abc·aa1＝··ac·bc·aa1
＝·ac·bc≤·
當且僅當ac＝bc時等號成立，此時ac＝bc＝.
∴三稜錐a1－abc的體積的最大值為.
20．(本小題滿分16分)如圖，在平面直角座標系xoy中，平行於x軸且過點a(3，2)的入射光線l1被直線l：y＝x反射，反射光線l2交y軸於b點，圓c過點a且與l1、l2相切．
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