第一章勾股定理
1、勾股定理
直角三角形兩直角邊a,b的平方和等於斜邊c的平方,即
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長a,b,c有關係,那麼這個三角形是直角三角形。
3、勾股數:滿足的三個正整數,稱為勾股數。
第二章實數
一、實數的概念及分類
1、實數的分類
正有理數
有理數零有限小數和無限迴圈小數
實數負有理數
正無理數
無理數無限不迴圈小數
負無理數
2、無理數:無限不迴圈小數叫做無理數。
在理解無理數時,要抓住「無限不迴圈」這一時之,歸納起來有四類:
(1)開方開不盡的數,如等;
(2)有特定意義的數,如圓周率π,或化簡後含有π的數,如+8等;
(3)有特定結構的數,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函式值,如sin60o等
二、實數的倒數、相反數和絕對值
1、相反數
實數與它的相反數時一對數(只有符號不同的兩個數叫做互為相反數,零的相反數是零),從數軸上看,互為相反數的兩個數所對應的點關於原點對稱,如果a與b互為相反數,則有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、絕對值
在數軸上,乙個數所對應的點與原點的距離,叫做該數的絕對值。(|a|≥0)。零的絕對值是它本身,也可看成它的相反數,若|a|=a,則a≥0;若|a|=-a,則a≤0。
3、倒數
如果a與b互為倒數,則有ab=1,反之亦成立。倒數等於本身的數是1和-1。零沒有倒數。
4、數軸
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸(畫數軸時,要注意上述規定的三要素缺一不可)。
解題時要真正掌握數形結合的思想,理解實數與數軸的點是一一對應的,並能靈活運用。
5、估算
三、平方根、算數平方根和立方根
1、算術平方根:一般地,如果乙個正數x的平方等於a,即x2=a,那麼這個正數x就叫做a的算術平方根。特別地,0的算術平方根是0。
表示方法:記作「」,讀作根號a。
性質:正數和零的算術平方根都只有乙個,零的算術平方根是零。
2、平方根:一般地,如果乙個數x的平方等於a,即x2=a,那麼這個數x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:正數a的平方根記做「」,讀作「正、負根號a」。
性質:乙個正數有兩個平方根,它們互為相反數;零的平方根是零;負數沒有平方根。
開平方:求乙個數a的平方根的運算,叫做開平方。
注意的雙重非負性:
03、立方根
一般地,如果乙個數x的立方等於a,即x3=a那麼這個數x就叫做a 的立方根(或三次方根)。
表示方法:記作
性質:乙個正數有乙個正的立方根;乙個負數有乙個負的立方根;零的立方根是零。
注意:,這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。
四、實數大小的比較
1、實數比較大小:正數大於零,負數小於零,正數大於一切負數;數軸上的兩個點所表示的數,右邊的總比左邊的大;兩個負數,絕對值大的反而小。
2、實數大小比較的幾種常用方法
(1)數軸比較:在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大。
(2)求差比較:設a、b是實數,
(3)求商比較法:設a、b是兩正實數,
(4)絕對值比較法:設a、b是兩負實數,則。
(5)平方法:設a、b是兩負實數,則。
五、算術平方根有關計算(二次根式)
1、含有二次根號「」;被開方數a必須是非負數。
2、性質:
(1)(2)
(3)()
(4) ()
3、運算結果若含有「」形式,必須滿足:(1)被開方數的因數是整數,因式是整式;(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式
六、實數的運算
(1)六種運算:加、減、乘、除、乘方 、開方
(2)實數的運算順序
先算乘方和開方,再算乘除,最後算加減,如果有括號,就先算括號裡面的。
(3)運算律
加法交換律
加法結合律
乘法交換律
乘法結合律
乘法對加法的分配律
第三章圖形的平移與旋轉
一、平移
1、定義
在平面內,將乙個圖形整體沿某方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移。
2、性質
平移前後兩個圖形是全等圖形,對應點連線平行且相等,對應線段平行且相等,對應角相等。
二、旋轉
1、定義
在平面內,將乙個圖形繞某一定點沿某個方向轉動乙個角度,這樣的圖形運動稱為旋轉,這個定點稱為旋轉中心,轉動的角叫做旋轉角。
2、性質
旋轉前後兩個圖形是全等圖形,對應點到旋轉中心的距離相等,對應點與旋轉中心的連線所成的角等於旋轉角。
第四章四邊形性質探索
一、四邊形的相關概念
1、四邊形
在同一平面內,由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。
2、四邊形具有不穩定性
3、四邊形的內角和定理及外角和定理
四邊形的內角和定理:四邊形的內角和等於360°。
四邊形的外角和定理:四邊形的外角和等於360°。
推論:多邊形的內角和定理:n邊形的內角和等於180°;
多邊形的外角和定理:任意多邊形的外角和等於360°。
6、設多邊形的邊數為n,則多邊形的對角線共有條。從n邊形的乙個頂點出發能引(n-3)條對角線,將n邊形分成(n-2)個三角形。
二、平行四邊形
1、平行四邊形的定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2、平行四邊形的性質
(1)平行四邊形的對邊平行且相等。
(2)平行四邊形相鄰的角互補,對角相等
(3)平行四邊形的對角線互相平分。
(4)平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是對角線的交點。
常用點:(1)若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點,並且這條直線二等分此平行四邊形的面積。
(2)推論:夾在兩條平行線間的平行線段相等。
3、平行四邊形的判定
(1)定義:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
(2)定理1:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
(3)定理2:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
(4)定理3:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
(5)定理4:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
4、兩條平行線的距離
兩條平行線中,一條直線上的任意一點到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線的距離。
平行線間的距離處處相等。
5、平行四邊形的面積
s平行四邊形=底邊長×高=ah
三、矩形
1、矩形的定義
有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2、矩形的性質
(1)矩形的對邊平行且相等
(2)矩形的四個角都是直角
(3)矩形的對角線相等且互相平分
(4)矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形;對稱中心是對角線的交點(對稱中心到矩形四個頂點的距離相等);對稱軸有兩條,是對邊中點連線所在的直線。
3、矩形的判定
(1)定義:有乙個角是直角的平行四邊形是矩形
(2)定理1:有三個角是直角的四邊形是矩形
(3)定理2:對角線相等的平行四邊形是矩形
4、矩形的面積
s矩形=長×寬=ab
四、菱形
1、菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
2、菱形的性質
(1)菱形的四條邊相等,對邊平行
(2)菱形的相鄰的角互補,對角相等
(3)菱形的對角線互相垂直平分,並且每一條對角線平分一組對角
(4)菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形;對稱中心是對角線的交點(對稱中心到菱形四條邊的距離相等);對稱軸有兩條,是對角線所在的直線。
3、菱形的判定
(1)定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
(2)定理1:四邊都相等的四邊形是菱形
(3)定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
4、菱形的面積
s菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半
五、正方形 (3~10分)
1、正方形的定義
有一組鄰邊相等並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2、正方形的性質
(1)正方形四條邊都相等,對邊平行
(2)正方形的四個角都是直角
(3)正方形的兩條對角線相等,並且互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角
(4)正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形;對稱中心是對角線的交點;對稱軸有四條,是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。
3、正方形的判定
判定乙個四邊形是正方形的主要依據是定義,途徑有兩種:
先證它是矩形,再證它是菱形。
先證它是菱形,再證它是矩形。
4、正方形的面積
設正方形邊長為a,對角線長為b
s正方形=
六、梯形
(一) 1、梯形的相關概念
一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
梯形中平行的兩邊叫做梯形的底,通常把較短的底叫做上底,較長的底叫做下底。
梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。
梯形的兩底的距離叫做梯形的高。
2、梯形的判定
(1)定義:一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。
(2)一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。
(二)直角梯形的定義:一腰垂直於底的梯形叫做直角梯形。
一般地,梯形的分類如下:
一般梯形
梯形直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
(三)等腰梯形
1、等腰梯形的定義
兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性質
(1)等腰梯形的兩腰相等,兩底平行。
(2)等腰梯形同一底上的兩個角相等,同一腰上的兩個角互補。
(3)等腰梯形的對角線相等。
(4)等腰梯形是軸對稱圖形,它只有一條對稱軸,即兩底的垂直平分線。
3、等腰梯形的判定
(1)定義:兩腰相等的梯形是等腰梯形
(2)定理:在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
(3)對角線相等的梯形是等腰梯形。(選擇題和填空題可直接用)
(四)梯形的面積
(1)如圖,
(2)梯形中有關圖形的面積:
①;②;
③七、有關中點四邊形問題的知識點:
(1)順次連線任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形;
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第一章勾股定理 1 勾股定理 直角三角形兩直角邊a,b的平方和等於斜邊c的平方,即 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a,b,c有關係,那麼這個三角形是直角三角形。3 勾股數 滿足的三個正整數,稱為勾股數。第二章實數 一 實數的概念及分類 1 實數的分類 正有理數 有理數零有限小數和無限迴圈小...
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第十一章全等三角形 8學時 11.1全等三角形 11.2全等三角形的判定和性質 注 判定兩個三角形全等必須有一組邊對應相等 全等三角形面積相等 11.3證題的思路 課後習題 1 如圖,在四邊形abcd中,對角線ac平分 bad,ab ad,下列結論中正確的是 a ab ad cb cd b ab a...
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第一章勾股定理 1 勾股定理 直角三角形兩直角邊a,b的平方和等於斜邊c的平方,即 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a,b,c有關係,那麼這個三角形是直角三角形。3 勾股數 滿足的三個正整數,稱為勾股數。第二章實數 一 實數的概念及分類 1 實數的分類 正有理數 有理數零有限小數和無限迴圈小...