二次根式
1、學習目標：
● 理解二次根式的概念，了解被開方數必須是非負數的理由；
● 了解最簡二次根式的概念；
● 理解並掌握下列結論：(1)； (2)； (3)；
● 掌握二次根式的加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關實數的簡單四則運算；
● 了解代數式的概念，進一步體會代數式在表示數量關係方面的作用.
二、重難點：
● 重點：二次根式(a≥0)的內涵．(a≥0)是乙個非負數；；及其運用；二次根式乘除法的規定及其運用；最簡二次根式的概念；二次根式的加減運算．
● 難點：對(a≥0)是乙個非負數的理解；對等式及的理解及應用；二次根式的乘法、除法的條件限制；利用最簡二次根式的概念把乙個二次根式化成最簡二次根式．
三、知識框架：
四、知識梳理
1、知識點
一、二次根式的主要性質：
（12）.；
（3）.；
（4）. 積的算術平方根的性質：；
（5）. 商的算術平方根的性質：.
（6）.若，則.
2、知識點
二、二次根式的運算
（1）．二次根式的乘除運算
1) 運算結果應滿足以下兩個要求：①應為最簡二次根式或有理式；②分母中不含根號.
2) 注意知道每一步運算的算理；
3) 乘法公式的推廣：
（2）．二次根式的加減運算
先化為最簡二次根式，再模擬整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質；
（3）．二次根式的混合運算
1) 對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最後算加減，如有括
號，應先算括號裡面的；
2) 二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運演算法
則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.
五、規律方法指導
怎樣快速準確地進行二次根式的混合運算.
1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最後算加減，有括號先算括號裡面的；
2.在二次根式的混合運算中，原來學過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；
3.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能收到事半功倍的效果.
(1) 加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易於理解和掌握.在運算過程中，對於各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進行約分，達到化簡的目的，但最後結果一定要化簡.
例如，沒有必要先對進行化簡，使計算繁瑣，可以先根據乘法分配律進行乘法運算，，通過約分達到化簡目的；
(2) 多項式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.
如：，利用了平方差公式.
所以，在進行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.
六、經典例題
1、型別
一、二次根式的概念與性質
例1．x是怎樣的實數時，下列各式在實數範圍內有意義？
(1)； (2)； (3).
思路點撥：本題考查二次根式的意義.
解：(1) 要使在實數範圍內有意義，則必有
∴當時，在實數範圍內有意義；
(2) 要使在實數範圍內有意義，則必有
∴當時，在實數範圍內有意義；
(3) 要使在實數範圍內有意義，則必有
∴當時，在實數範圍內有意義.
舉一反三
【變式1】已知，求的值.
解：根據二次根式的意義有
將代入已知等式得
例2．根據下列條件，求字母x的取值範圍：
(1)； (2).
思路點撥：二次根式重要性質的運用.
解：(1)
(2)舉一反三
【變式1】把根號外的因式移到根號內，得( )
a． b． c． d．
思路點撥：逆用二次根式的性質.
解：由二次根式的意義知x＜0，則
，所以答案選c.
例3.在實數範圍內因式分解.
(1)； (2).
思路點撥：逆用二次根式的性質.
解：(1)
(2)舉一反三
【變式1】化簡得( )
a.2 b.-4x-4 c.-2 d.4x-4
思路點撥：二次根式的性質和的運用.
注意隱含條件.
解：由題意知，
，所以答案選a.
2、型別二：二次根式的混合運算
例4．計算：
(1)； (2)；
(3)； (4).
思路點撥：(1)計算時首先把各個二次根式化為最簡二次根式，再用整式的運算法則運算；
(2)如果可以約分化簡或者乘方化為有理數，那麼可以先運算再化簡；
(3)除法不能直接約分化簡的，應將除法轉化為乘法；
(4)適當可以借用乘法公式化簡運算過程.
解：(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=
(4)原式=
總結昇華：二次根式的混合運算要注意運算順序，運算法則的使用及注意結果要化成最簡形式.
舉一反三
【變式1】計算
思路點撥：第一項分母有理化，第二項化為最簡二次根式，第三項用化簡，然後合併同類二次根式.
解：【變式2】計算：
(1)(2)思路點撥：利用乘法公式，平方差公式和完全平方公式.
解：(1)原式
(2)原式
總結昇華：靈活運用計算法則可以大大簡化運算過程.
【變式3】先觀察下列分母有理化：
，從計算結果中找出規律，再利用這一規律計算下列式子的值：
. 思路點撥：由已知可以猜想一般規律：來進行化簡，把第乙個括號內的每一項都分母有理化，然後合併同類二次根式.
解：總結昇華：分母有理化時要注意利用分式的基本性質，把分子和分母同時乘以分母的有理化因式.
3、型別
三、二次根式的化簡求值
例5.已知a、b、c為△abc的三邊長，化簡
思路點撥：利用三角形任意兩邊之和大於第三邊和進行化簡.
解：∵a、b、c為△abc的三邊長，
∴原式4、型別
四、二次根式的比較大小
例6.比較大小.
(1)與； (2)與； (3)與；
(4)與； (5)與.
思路點撥：第(1)題可借助比較被開方數或採用平方法加以比較；第(2)題可以分母有理化之後再比較；第(3)題可利用作差法來比較；第(4)題可利用求商法來比較；第(5)題可借助倒數來比較.
解：(1)方法一：
，而方法二：
，又；(2)(3)(4)(5)又，且總結昇華：要注意觀察兩個二次根式的特點，選擇靈活簡便的方法.
5、型別
五、二次根式的綜合應用
例7．某人用一架不等臂天平稱一塊鐵a的質量，把鐵塊放在天平左盤時，稱得它的質量為300克；把鐵塊放在天平右盤時，稱得它的質量為900克，利用所學知識，求這塊鐵的實際質量.(保留到個位)
解：設這塊鐵的實際質量為x克，天平的左、右臂的長分別為m，n.
鐵塊放在天平左盤時， 鐵塊放在天平右盤時，
上下兩式相乘，得解得
答：這塊鐵的實際質量約為520克.
例8．已知：如圖，每個小方格的邊長都為1，則點c到線段ab所在直線的距離等於多少？
解：鏈結ac、bc，ab的長為，
設ab邊上的高為h，則
即點c到線段ab所在直線的距離等於.
總結昇華：對於此類問題，要注意勾股定理的應用.注意結合圖形發現解決問題的辦法，即利用數形結合的思想.
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