高中數學第六章-不等式
考試內容:
不等式.不等式的基本性質.不等式的證明.不等式的解法.含絕對值的不等式.
數學探索版權所有考試要求:
數學探索版權所有理解不等式的性質及其證明.數學探索版權所有掌握兩個(不擴充套件到三個)正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理,並會簡單的應用.
數學探索版權所有掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式.數學探索版權所有掌握簡單不等式的解法.
數學探索版權所有理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│§06. 不等式知識要點
1. 不等式的基本概念
(1) 不等(等)號的定義:
(2) 不等式的分類:絕對不等式;條件不等式;矛盾不等式.
(3) 同向不等式與異向不等式.
(4) 同解不等式與不等式的同解變形.
2.不等式的基本性質
(1)(對稱性)
(2)(傳遞性)
(3)(加法單調性)
(4)(同向不等式相加)
(5)(異向不等式相減)
(6)(7)(乘法單調性)
(8)(同向不等式相乘)
(異向不等式相除)
(倒數關係)
(11)(平方法則)
(12)(開方法則)
3.幾個重要不等式
(1)(2)(當僅當a=b時取等號)
(3)如果a,b都是正數,那麼 (當僅當a=b時取等號)極值定理:若則:
如果p是定值, 那麼當x=y時,s的值最小;
如果s是定值, 那麼當x=y時,p的值最大.
利用極值定理求最值的必要條件: 一正、二定、三相等.
(當僅當a=b=c時取等號)
(當僅當a=b時取等號)
(7)4.幾個著名不等式
(1)平均不等式: 如果a,b都是正數,那麼 (當僅當a=b時取等號)即:平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均(a、b為正數):
特別地,(當a = b時,)
冪平均不等式:
注:例如:.
常用不等式的放縮法:①
②(2)柯西不等式:
(3)琴生不等式(特例)與凸函式、凹函式
若定義在某區間上的函式f(x),對於定義域中任意兩點有則稱f(x)為凸(或凹)函式.
5.不等式證明的幾種常用方法
比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根軸法).
步驟:正化,求根,標軸,穿線(偶重根打結),定解.
特例① 一元一次不等式ax>b解的討論;
②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的討論.
(2)分式不等式的解法:先移項通分標準化,則(3)無理不等式:轉化為有理不等式求解
(4).指數不等式:轉化為代數不等式
(5)對數不等式:轉化為代數不等式
(6)含絕對值不等式
應用分類討論思想去絕對值; 應用數形思想;
應用化歸思想等價轉化
注:常用不等式的解法舉例(x為正數):
①②類似於,③
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