二元一次方程組應用探索
二元一次方程組是最簡單的方程組，其應用廣泛，尤其是生活、生產實踐中的許多問題，大多需要通過設元、布列二元一次方程組來加以解決，現將常見的幾種題型歸納如下：
一、數字問題
例1 乙個兩位數，比它十位上的數與個位上的數的和大9；如果交換十位上的數與個位上的數，所得兩位數比原兩位數大27，求這個兩位數．
分析：設這個兩位數十位上的數為x，個位上的數為y，則這個兩位數及新兩位數及其之間的關係可用下表表示：
解方程組，得，因此，所求的兩位數是14．
點評：由於受一元一次方程先入為主的影響，不少同學習慣於只設一元，然後列一元一次方程求解，雖然這種方法十有**可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象本題，如果直接設這個兩位數為x，或只設十位上的數為x，那將很難或根本就想象不出關於x的方程．一般地，與數字上的數字有關的求數問題，一般應設各個數字上的數為「元」，然後列多元方程組解之．
1、一名學生問老師：「您今年多大？」老師風趣地說：「我像您這樣大時，您才出生；您到我這麼大時，我已經37歲了。」請問老師、學生今年多大年齡了呢？
2、某長方形的周長是44cm，若寬的3倍比長多6cm，則該長方形的長和寬各是多少？
3、已知梯形的高是7，面積是56cm2，又它的上底比下底的三分之一還多4cm，求該梯形的上底和下底的長度是多少？
二、利潤問題
例2一件商品如果按定價打九折**可以盈利20%；如果打八折**可以盈利10元，問此商品的定價是多少？
分析：商品的利潤涉及到進價、定價和賣出價，因此，設此商品的定價為x元，進價為y元，則打九折時的賣出價為0.9x元，獲利(0.
9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時的賣出價為0.8x元，獲利(0.
8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.
解方程組，解得，
因此，此商品定價為200元．
點評：商品銷售盈利百分數是相對於進價而言的，不要誤為是相對於定價或賣出價．利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤=賣出價-進價；二是：
利潤=進價×利潤率（盈利百分數）．特別注意「利潤」和「利潤率」是不同的兩個概念．
1、已知甲、乙兩種商品的原單價和為100元，因市場變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調價後，甲、乙兩種商品的單價和比原單價和提高了2%，求甲、乙兩種商品的原單價各是多少元？
2、「五一」期間，某商場搞優惠**，決定由顧客**確定折扣，某顧客購買甲、乙兩種商品，分別抽到七折（按售價的70%銷售）和九折（按售價的90%銷售），共付款386元，這兩種商品原售價之和為500元，問這兩種商品的原銷售價分別為多少元？
3、某市場購進甲、乙兩種商品共５０件，甲種商品進價每件３５元，利潤率是２０％，乙種商品進價每件２０元，利潤率是１５％，共獲利２７８元，問甲、乙兩種商品各購進了多少件？
三、配套問題
例3 某廠共有120名生產工人，每個工人每天可生產螺栓25個或螺母20個，如果乙個螺栓與兩個螺母配成一套，那麼每天安排多名工人生產螺栓，多少名工人生產螺母，才能使每天生產出來的產品配成最多套？
分析：要使生產出來的產品配成最多套，只須生產出來的螺栓和螺母全部配上套，根據題意，每天生產的螺栓與螺母應滿足關係式：每天生產的螺栓數×2=每天生產的螺母數×1．因此，設安排ｘ人生產螺栓，ｙ人生產螺母，則每天可生產螺栓25ｘ個，螺母20ｙ個，依題意，得
，解之，得．
故應安排20人生產螺栓，100人生產螺母．
點評：產品配套是工廠生產中基本原則之一，如何分配生產力，使生產出來的產品恰好配套成為主管生產人員常見的問題，解決配套問題的關鍵是利用配套本身所存在的相等關係，其中兩種最常見的配套問題的等量關係是：
（1）「二合一」問題：如果ａ件甲產品和ｂ件乙產品配成一套，那麼甲產品數的ｂ倍等於乙產品數的ａ倍，即；
（2）「三合一」問題：如果甲產品ａ件，乙產品ｂ件，丙產品ｃ件配成一套，那麼各種產品數應滿足的相等關係式是：．
現有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或做22個盒底，乙個盒身與兩個盒底配成乙個完整盒子，問用多少張鐵皮製成盒身，多少張鐵皮製成盒底，可以正好製成一批完整的盒子？
10.一級學生去飯堂開會，如果每4人共坐一張長凳，則有28人沒有位置坐，如果6人共坐一張長凳，求初一級學生人數及長凳數．
7、某中學新建了一棟4層的教學大樓，每層樓有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小相同，安全檢查中，對4道門進行了測試：當同時開啟正門和兩道側門時，2分鐘可以通過560名學生，當同時開啟一道正門和一道側門時，4分鐘可以通過800名學生。
（1）求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生？
（2）檢查中發現，緊急情況下時因學生擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規定，在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘內通過這4道門安全撤離，假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生，問通過的這4道門是否符合安全規定？請說明理由。
四、行程問題
例4 在某條高速公路上依次排列著a、b、c三個加油站，a到b的距離為120千公尺，b到c的距離也是120千公尺．分別在a、c兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團夥作案後同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現場，正在b站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令後立即以相同的速度分別往a、c兩個加油站駛去，結果往b站駛來的團夥在1小時後就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團夥經過3小時後才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團夥的車的速度各是多少？
【研析】設巡邏車、犯罪團夥的車的速度分別為x、y千公尺/時，則
，整理，得，解得，
因此，巡邏車的速度是80千公尺/時，犯罪團夥的車的速度是40千公尺/時．
點評：「相向而遇」和「同向追及」是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著乙個相等關係，這個關係涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現在：
「相向而遇」時，兩者所走的路程之和等於它們原來的距離；
「同向追及」時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等於它們原來的距離．
1、一條船順水行駛36千公尺和逆水行駛24千公尺的時間都是3小時，求船在靜水中的速度與水流的速度。
2、已知一鐵路橋長1000公尺，現有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到車身過完橋共用1分鐘，整列火車完全在橋上的時間為40秒，求火車的速度及火車的長度。
3.兩列火車同時從相距910千公尺的兩地相向出發，10小時後相遇，如果第一列車比二列車早出發4小時20分，那麼在第二列火車出發8小時後相遇，求兩列火車的速度．
4.甲、乙兩人分別從甲、乙兩地同時相向出發，在甲超過中點50公尺處甲、乙兩人第一次相遇，甲、乙到達乙、甲兩地後立即返身往回走，結果甲、乙兩人在距甲地100公尺處第二次相遇，求甲、乙兩地的路程。
五、貨運問題
典例5 某船的載重量為300噸，容積為1200立方公尺，現有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方公尺，乙種貨物每噸的體積為2立方公尺，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應各裝多少噸？
分析：「充分利用這艘船的載重和容積」的意思是「貨物的總重量等於船的載重量」且「貨物的體積等於船的容積」．設甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則
，整理，得，解得，
因此，甲、乙兩重貨物應各裝150噸．
點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再考慮消元和解法，這樣可以減少計算量，增加準確度．化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項係數的最大公約數或移項、合併同類項等．
1.某廠買進甲、乙兩種材料共56噸，用去9860元。若甲種材料每噸190元，乙種材料每噸160元，則兩種材料各買多少噸？
2.某運輸公司有大小兩種貨車,2輛大車和3輛小車可運貨15.5噸,5輛大車和6 輛小車可運貨35噸,客戶王某有貨52噸,要求一次性用數量相等的大小貨車運出,問需用大、小貨車各多少輛？
六、住宿問題
1、某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天 35元，乙個50人的旅遊團到了該酒店住宿，租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間？
2.一級學生去飯堂開會，如果每4人共坐一張長凳，則有28人沒有位置坐，如果6人共坐一張長凳，求初一級學生人數及長凳數．
3.若干學生住宿,若每間住4人則餘20人,若每間住8人,則有一間不空也不滿,問宿舍幾間,學生多少人?
二元一次方程組應用題 分類總結
二元一次方程組應用 二元一次方程組是最簡單的方程組，其應用廣泛，尤其是生活 生產實踐中的許多問題，大多需要通過設元 布列二元一次方程組來加以解決，現將常見的幾種題型歸納如下 一 數字問題 1 乙個兩位數，比它十位上的數與個位上的數的和大9 如果交換十位上的數與個位上的數，所得兩位數比原兩位數大27，...
二元一次方程組應用題 分類總結
六 工程問題 6 某服裝廠接到生產一種工作服的訂貨任務，要求在規定期限內完成，按照這個服裝廠原來的生產能力，每天可生產這種服裝150套，按這樣的生產進度在客戶要求的期限內只能完成訂貨的 現在工廠改進了人員組織結構和生產流程，每天可生產這種工作服200套，這樣不僅比規定時間少用1天，而且比訂貨量多生產...
二元一次方程組應用題
8.3實際問題與二元一次方程組 知識梳理 1 列二元一次方程組解應用題的一般步驟 審題，分析題中已知什麼，求什麼，理順各數量之間的關係 設合適的未知數 列方程組，根據題中兩個相等關係列出方程組 解方程組 檢驗方程組的解，並且具有實際意義 答，根據題意寫出答案。鞏固提公升 1 班上有男女同學32人，女...