（1）若，則______（答：）；
（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 a. b. c. d.（答：b）；
（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____（答：）；
（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___（答：0）
4、實數與向量的積：實數與向量的積是乙個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當》0時， 的方向與的方向相同，當<0時， 的方向與的方向相反，當＝0時，，注意： ≠0。
5、平面向量的數量積：
（1）兩個向量的夾角：對於非零向量，，作，
稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。
（2）平面向量的數量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作： ，即＝。
規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是乙個實數，不再是乙個向量。
如（1）△abc中，，，，則答：－9）；（2）已知，與的夾角為，則等於____（答：1）；（3）已知，則等於____（答：）；
（4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____（答：）
（3）在上的投影為，它是乙個實數，但不一定大於0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為______（答：）
（4）的幾何意義：數量積等於的模與在上的投影的積。
（5）向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
①；②當，同向時， ＝，特別地，；當與反向時， ＝－；當為銳角時， ＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時， ＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；
③非零向量，夾角的計算公式：；④。如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值範圍是______（答：
或且）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值範圍是答：）；（3）已知與之間有關係式，①用表示；②求的最小值，並求此時與的夾角的大小（答：①；②最小值為，）
6、向量的運算：
（1）幾何運算： ①向量加法：利用「平行四邊形法則」進行，但「平行四邊形法則」只適用於不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用「三角形法則」：設，那麼向量叫做與的和，即；
②向量的減法：用「三角形法則」：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。
（2）座標運算：設，則：
①向量的加減法運算：，。
②實數與向量的積：。
④平面向量數量積：。
⑤向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那麼＝_____（答：）；
⑥兩點間的距離：若，則。
7、向量的運算律：（1）交換律：，，；
(2)結合律：，；
（3）分配律：，。
提醒：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對於乙個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以乙個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以乙個向量，但不能兩邊同除以乙個向量，即兩邊不能約去乙個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的「乘法」不滿足結合律，即，為什麼？
8、向量平行(共線)的充要條件： ＝0。
如(1)若向量，當＝_____時與共線且方向相同（答：2）；
（2）已知，，，且，則x＝______（答：4）；
（3）設，則k＝_____時，a,b,c共線（答：－2或11）
9、向量垂直的充要條件： .特別地。
如(1)已知，若，則 （答：）；（2）以原點o和a(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形oab，，則點b的座標是答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，則的座標是答：
）10.線段的定比分點：
（1）定比分點的概念：設點p是直線pp上異於p、p的任意一點，若存在乙個實數，使，則叫做點p分有向線段所成的比，p點叫做有向線段的以定比為的定比分點；
（2）的符號與分點p的位置之間的關係：當p點**段 pp上時》0；當p點**段 pp的延長線上時<－1；當p點**段pp的延長線上時；若點p分有向線段所成的比為，則點p分有向線段所成的比為。如若點分所成的比為，則分所成的比為_______（答：
）（3）線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當＝1時，就得到線段pp的中點公式。在使用定比分點的座標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的座標。
在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，並根據這些點確定對應的定比。
如（1）若m（-3，-2），n（6，-1），且，則點p的座標為_______（答：）；（2）已知，直線與線段交於，且，則等於_______（答：２或－４）
11.平移公式：如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.
注意：（1）函式按向量平移與平常「左加右減」有何聯絡？
（2）向量平移具有座標不變性，可別忘了啊！如（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點______（答：（－８，３））；
（2）函式的圖象按向量平移後，所得函式的解析式是，則答：）
12、向量中一些常用的結論：
（1）乙個封閉圖形首尾連線而成的向量和為零向量，要注意運用；
（2），特別地，當同向或有
；當反向或有；當不共線 (這些和實數比較類似).
（3）在中，①若，則其重心的座標為。如若⊿abc的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），則⊿abc的重心的座標為_______（答：）；
②為的重心，特別地為的重心；
③為的垂心；
④向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；
⑤的內心；
（3）若p分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則，特別地為的中點；
（4）向量中三終點共線存在實數使得且.如平面直角座標系中，為座標原點，已知兩點, ,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_______（答：直線ab）
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