§4.2 粒子運動狀態的量子描述
一、量子描述
1、 de broglie(德布羅意)關係
實踐和理論都告訴我們，微觀粒子具有明顯的波粒二象性。一方面，它們是客觀存在的單個實體，另一方面，在適當的條件下又可以觀察到微觀粒子具有干涉、衍射等為波動所特有的物理現象。根據de broglie(德布羅意)的波粒二象性理論，粒子能量與圓頻率，動量與波矢的關係為
= = ⑴
上式稱為de broglie關係，適用於一切微觀粒子，其中
=，稱（或h）為planck常數
它是量子物理中的基本常數。量綱為[時間][能量]=[長度][動量]=[角動量]。這類物理量常稱為作用量，因此也稱基本作用量子。
用巨集觀現象的單位（kgms）來量度，的數值很小；反之，巨集觀世界用作用量子為單位時，其參量將有非常大的數值，這樣，planck常數提供了乙個判據：當乙個物質系統的任何具有作用量綱的物理量具有與相比擬的數值時，這個物質系統是乙個量子系統；反之，物理量用來量度，數值非常大時，該系統為經典系統。
2、測不准關係
當我們用粒子和波兩種圖象去描述同乙個微觀粒子時，我們不能把經典的巨集觀粒子的全部屬性或經典波動的全部屬性都強加給這個微觀粒子。例如，當我們把經典力學中表徵巨集觀粒子運動狀態的位置（即座標）和動量的觀念用於微觀粒子時，微觀粒子的波動性就會對這種觀念加以某種「限制」。2023年海森堡（w.
heisenberg）指出，要同時確定微觀粒子的座標和動量是不可能的，它們的準確度有乙個原則上的限度，若用δx表示微觀粒子在x座標軸上位置的準確度或者位置的可能範圍，用δp表示同一微觀粒子同一時刻在x座標方向上動量分量的準確度或者動量分量的可能範圍，則δx和δp之間滿足
kδxδph⑵
這就是著名的海森堡測不准關係。上式說明：若準確地指定微觀粒子的位置，即指定粒子準確地位於x出或者δx=0，則由測不准關係式，必然得出δp，這表示微觀粒子的動量可能具有pp+之間的任何數值，因而粒子的動量是不確定的。
反之，若準確的指定微觀粒子的動量，則粒子的座標也是不確定的。這說明微觀粒子的運動沒有確定的軌跡，運動不是軌道運動。
在經典力學的理論中，粒子可以同時具有確定的座標和動量。這並不是說在實際上我們可以任意的精確度做到這一點，而是說在經典力學的理論中，原則上不允許對這精確度有任何限制。由於蒲朗克常數h的數值很小，所以測不准關係在任何意義上都不會跟巨集觀物理學的經驗知識發生矛盾。
3、量子描述
在量子力學中微觀粒子的運動狀態稱為量子態。量子態由一組量子數表徵。這組量子數的數目等於自由度數。
以下舉例說明幾種粒子的量子數。
（1）外磁場中的電子自旋電子自旋.swf
電子具有自旋角動量和自旋磁矩。兩者之比
=-其中e為電子電荷的絕對值，m為電子的質量。在原子物理課講過，如果存在z方向的外磁場，磁感強度為，電子的自旋角動量在外磁場方向的投影有兩個可能的值，即s=±。自旋磁矩在外磁場方向的投影相應為μ=。
電子在外磁場的勢能為
-=±b ⑶
因此描述處在外磁場中的電子自旋只要乙個量子數s，它只能取兩個分立的數值±。
（2）自由粒子
所謂自由粒子，指的是不受外力作用可以自由運動的粒子。在通常情況下，我們還經常把可以忽略外力作用的粒子看作自由粒子
i) 一維自由粒子
為簡單起見，我們首先討論一維的自由粒子。設粒子處在長度為l的一維容器中，由量子力學知，在邊界滿足週期條件，則有
波向量 k=n, n=0, ±1,±2… ⑷
其中是波矢。將上式代入=，得一維自由粒子的動量為：
p=n, n=0, ±1,±2… ⑸
這裡，n表徵一維自由粒子運動狀態的量子數。則一維自由粒子的能量由經典力學可得
==, n=0, ±1,±2… ⑹式⑸和⑹表明粒子的動量是分立的。這是局域在有限空間範圍的量子特徵。分立的能量值稱為能級，由⑹式可求得相鄰兩能級的能級間距為δe=e- e=-= ⑺
ii)三維自由粒子
設粒子處在邊長為l的立方容器中，則粒子的三個動量分量分別為
p=n, n=0, ±1,±2…
p=n, n=0, ±1,±2… ⑻
p=n, n=0, ±1,±2…
式中n, n, n是三維自由粒子運動狀態的量子數。能量為
=（p+p+p）= ⑼
由此可知，能級取決於（）的數值。因此處於同一能級上的量子態不止乙個。例如：當=時，n, n, n可以取6組不同的值，即:
n=0 n=0 n=±1
n=0 n=±1 n=0
n=±1 n=0 n=0
也就是說，能級上的量子態有6個，我們就稱能級是簡併的簡併度為6。 某一能級的量子狀態不止乙個，乙個能級的量子態數稱為該能級的簡併度
二、粒子的量子狀態在μ空間中的描述
現在我們把測不准關係的結論應用到μ空間中。
可以證明，對於自由度為r的粒子，每乙個量子狀態在μ空間中佔據大小為h的乙個體積元。換句話說，粒子每乙個可能的狀態的狀態對應於μ空間中大小為h的乙個體積元，我們可以根據測不准關係來理解。測不准關係指出，在量子力學所容許的最精確的描述中，粒子座標的不確定值δq和與之共扼的動量的不確定值δp滿足
δqδph ⑽
因此如果用廣義座標q和廣義動量p在μ空間中描述粒子的運動狀態時，乙個運動狀態必然對應於μ空間中的乙個體積元，我們稱這個體積元為乙個相格。（由於微觀粒子的運動受測不准關係限制，因而在μ空間中表示同一空間運動狀態的代表點將分布在一塊小體積內，這塊小體積稱為相格。）對於自由度為1的粒子，這個相格（體積元）的大小為h。
如果粒子的自由度為r，每乙個自由度的座標和動量的不確定值δq和δp分別滿足測不准關係δqδph，則
δq…δqδp…δph ⑾
因此，對於自由度為r的粒子，每乙個可能的狀態對應於μ空間中大小為h的乙個相格（體積元）。
例如，三維自由粒子的乙個量子態對應於μ空間中體積為h的乙個相格。
nsv表示容器的體積。在體積v內，在p到p+d p,p到 p+d p，p到p+d p的動量範圍內，三維自由粒子可能的量子狀態數就為 ⑿
這個結果也可以直接從p=n,p=n,p=n得出。
證明：設容器為邊長l的正方形v=l。因此在p到p+d p的範圍內，可能的p的數目d n由p=n，得
dn=d p
p到 p+d p和p到p+d p的範圍內，可能的p， p的數目為
dn=d p
dn=d p
則在體積v=l內，p到p+d p,p到 p+d p，p到p+d p內，自由粒子的量子態數為
dndndn=（）dpdpdp=dpdpdp
其中利用了 =，與測不准關係所得結果一致。
在某些問題中，往往用動量空間中的球極座標p，，來描寫自由粒子的動量。則p=psincos，p=psincos，p=cos⑿
這時動量空間體積元為psindpdd。所以在體積v內，動量大小在p到p+dp，動量方向在+d，到+d的範圍，自由粒子可能的狀態為
⒀如果再對和積分，由0積分到，由0積分到2，得
dsind=4 ⒁
便可求得在體積v內，動量絕對值在p到p+dp範圍內（動量方向任意），自由粒子可能的狀態數為
pdp ⒂
將ε=代入上式得，在體積v內，在ε到ε+dε範圍內自由粒子的可能狀態數為
2mεd=(2m)εdε ⒃
定義：d（ε）=(2m)ε表示單位能量間隔的可能量子狀態數稱為態密度。
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