第二章知識點總結
一、平面
通常用乙個平行四邊形來表示.
平面常用希臘字母α、β、γ…或拉丁字母m、n、p來表示,也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示,如平面ac.
在立體幾何中,大寫字母a,b,c,…表示點,小寫字母,a,b,c,…l,m,n,…表示直線,且把直線和平面看成點的集合,因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關係,例如:
a) a∈l—點a在直線l上;aα—點a不在平面α內;
b) lα—直線l在平面α內;
c) aα—直線a不在平面α內;
d) l∩m=a—直線l與直線m相交於a點;
e) α∩l=a—平面α與直線l交於a點;
f) α∩β=l—平面α與平面β相交於直線l.
二、平面的基本性質
公理1 如果一條直線上的兩點在乙個平面內,那麼這條直線上所有的點都在這個平面內.
公理2 如果兩個平面有乙個公共點,那麼它們有且只有一條通過這個點的公共直線.
公理3 經過不在同一直線上的三個點,有且只有乙個平面.
根據上面的公理,可得以下推論.
推論1 經過一條直線和這條直線外一點,有且只有乙個平面.
推論2 經過兩條相交直線,有且只有乙個平面.
推論3 經過兩條平行直線,有且只有乙個平面.
公理4 平行於同一條直線的兩條直線互相平行
三、證題方法
練習1、已知直線,且直線與都相交,求證:直線共面
(注:《第二教材》25-26頁,題型1、題型2)
四、空間線面的位置關係
共面平行—沒有公共點
(1)直線與直線相交—有且只有乙個公共點
異面(既不平行,又不相交)
直線在平面內—有無數個公共點
(2)直線和平面直線不在平面內平行—沒有公共點
直線在平面外) 相交—有且只有一公共點
(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數個公共點)
平行—沒有公共點
五、異面直線的判定
證明兩條直線是異面直線通常採用反證法.
有時也可用定理「平面內一點與平面外一點的連線,與平面內不經過該點的直線是異面直線」.
練習2、求證:兩條異面直線不能同時和乙個平面垂直
練習3、四面體中,各個側面都是邊長為的正三角形,分別是和的中點,則異面直線與所成的角是多少?
六、線面平行與垂直的判定
(1)兩直線平行的判定
①定義:在同乙個平面內,且沒有公共點的兩條直線平行.
②如果一條直線和乙個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,那麼這條直線和交線平行,即若a∥α,a β
④垂直於同一平面的兩直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b(線面垂直的性質定理)
⑤兩平行平面與同乙個平面相交,那麼兩條交線平行,即若b,則a∥b(面面平行的性質公理)
⑥中位線定理、平行四邊形、比例線段……,α∩β=b,則a∥b.(線面平行的判定定理)
③平行於同一直線的兩直線平行,即若a∥b,b∥c,則a∥c.(公理4)
(2)兩直線垂直的判定
①定義:若兩直線成90°角,則這兩直線互相垂直.
②一條直線與兩條平行直線中的一條垂直,也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c
③一條直線垂直於乙個平面,則垂直於這個平面內的任意一條直線.即若a⊥α,bα,a⊥b.
④三垂線定理和它的逆定理:在平面內的一條直線,若和這個平面的一條斜線的射影垂直,則它也和這條斜線垂直.
⑤如果一條直線與乙個平面平行,那麼這條直線與這個平面的垂線垂直.即若a∥α,b⊥α,則a⊥b.
(3)直線與平面平行的判定
①定義:若一條直線和平面沒有公共點,則這直線與這個平面平行.
②如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行,則這條直線與這個平面平行.即若aα,bα,a∥b,則a∥α.(線面平行的判定定理)
③兩個平面平行,其中乙個平面內的直線平行於另乙個平面,即若α∥β,lα,則l∥β.
練習4、如圖:是平行四邊形平面外一點,分別是上的點,且=,
求證:平面
練習5、兩個全等的正方形abcd和abef所在平面相交於ab,m∈ac,n∈fb,且am=fn,
求證 mn∥平面bce (用兩種方法來證
(4)直線與平面垂直的判定
①定義:若一條直線和乙個平面內的任何一條直線垂直,則這條直線和這個平面垂直.
②如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直,那麼這條直線垂直於這個平面.即若mα,nα,m∩n=b,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.(線面垂直判定定理)
③如果兩條平行線中的一條垂直於乙個平面,那麼另一條也垂直於同一平面.即若l∥a,a⊥α,則l⊥α.
④一條直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面,它也垂直於另乙個平面,即若α∥β,l⊥β,則l⊥α.
⑤如果兩個平面互相垂直,那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另乙個平面,即若α⊥β,a∩β=α,lβ,l⊥a,則l⊥α.(面面垂直的性質定理)
練習6、已知e,f分別是正方形abcd邊ad,ab的中點,ef交ac於m,gc垂直於abcd所在平面.
(1)求證:ef⊥平面gmc.
(2)若ab=4,gc=2,求點b到平面efg的距離
練習7、如圖2.3.1-2,在正方形abcd中,e、f分別是bc、cd的中點,g是ef的中點,現在沿ae、af及ef把這個正方形折成乙個空間圖形,使b、c、d三點重合,重合後的點記為h,那麼,在這個空間圖形中必有[ ]
a、ah⊥△efh 所在平面
b、ad⊥△efh所在平面
c、hf⊥△aef所在平面
d、hd⊥△aef所在平面
練習8 、三稜錐的高為,若三個側面兩兩垂直,則為△的( )
a. 內心 b. 外心 c. 垂心 d. 重心
(5)兩平面平行的判定
①定義:如果兩個平面沒有公共點,那麼這兩個平面平行,即無公共點α∥β.
②如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面,那麼這兩個平面平行,即若a,bα,a∩b=p,a∥β,b∥β,則α∥β.(面面平行判定定理)
推論:乙個平面內的兩條直線分別平行於另一平面內的兩條相交直線,則這兩個平面平行,即若a,bα,c,dβ,a∩b=p,a∥c,b∥d,則α∥β.
(6)兩平面垂直的判定
①定義:兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那麼這兩個平面互相垂直,即二面角α-a-β=90°α⊥β.
②如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線,那麼這兩個平面互相垂直,即若l⊥β,lα,則α⊥β.
(面面垂直判定定理)
練習9、 直三稜柱中,各側稜和底面的邊長均為,點是上任意一點,
連線,則三稜錐的體積為( )
a. b. c. d.
練習10、在三稜錐中,△是邊長為的正三角形,平面平面,、分別為的中點.
(ⅰ)證明:⊥;
(ⅱ)求二面角--的大小;
(ⅲ)求點到平面的距離.
練習11、正方體中,是的中點. 求證:平面平面
七、空間中的各種角
等角定理及其推論
定理若乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行,並且方向相同,則這兩個角相等.
推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.
1、異面直線所成的角
(1)定義:a、b是兩條異面直線,經過空間任意一點o,分別引直線a′∥a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.
(2)取值範圍:0°<θ≤90°.
(3)求解方法
①根據定義,通過平移,找到異面直線所成的角θ;
②解含有θ的三角形,求出角θ的大小.
2、直線和平面所成的角——斜線和射影所成的銳角
(1)取值範圍0°≤θ≤90°
(2)求解方法
①作出斜線在平面上的射影,找到斜線與平面所成的角θ.
②解含θ的三角形,求出其大小.
3、二面角及二面角的平面角
(1)半平面直線把平面分成兩個部分,每一部分都叫做半平面.
(2)二面角條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的稜,這兩個平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一稜一半平面組成.
若兩個平面相交,則以兩個平面的交線為稜形成四個二面角.
二面角的大小用它的平面角來度量,通常認為二面角的平面角θ的取值範圍是
0°<θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角稜上任意一點為端點,分別在兩個麵內作垂直於稜的射線,這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.
如圖,∠pcd是二面角α-ab-β的平面角.平面角∠pcd的大小與頂點c在稜ab上的位置無關.
②二面角的平面角具有下列性質:
(i)二面角的稜垂直於它的平面角所在的平面,即ab⊥平面pcd.
(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(異於角的頂點)作另一面的垂線,垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長線)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個面都垂直,即平面pcd⊥α,平面pcd⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定義法
(ii)垂面法
(iii)三垂線法
(ⅳ)根據特殊圖形的性質
(4)求二面角大小的常見方法
先找(或作)出二面角的平面角θ,再通過解三角形求得θ的值.
練習12、正四稜錐(頂點在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為,底面對角線的長為,則側面與底面所成的二面角等於
練習13、在正四面體中,為的中點,求直線與平面所成角的正弦值.
13.空間的各種距離
點到平面的距離
(1)定義麵外一點引乙個平面的垂線,這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.
(2)求點面距離常用的方法:
1)直接利用定義求
①找到(或作出)表示距離的線段;
②抓住線段(所求距離)所在三角形解之.
2)體積法其步驟是:①在平面內選取適當三點,和已知點構成三稜錐;②求出此三稜錐的體積v和所取三點構成三角形的面積s;③由v=s·h,求出h即為所求.這種方法的優點是不必作出垂線即可求點面距離.
難點在於如何構造合適的三稜錐以便於計算.
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第二章知識點總結 一 平面 通常用乙個平行四邊形來表示.平面常用希臘字母 或拉丁字母m n p來表示,也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示,如平面ac.在立體幾何中,大寫字母a,b,c,表示點,小寫字母,a,b,c,l,m,n,表示直線,且把直線和平面看成點的集合,因而能借用集合論中的符號表示...
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第二章知識點總結 一 平面 通常用乙個平行四邊形來表示.平面常用希臘字母 或拉丁字母m n p來表示,也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示,如平面ac.在立體幾何中,大寫字母a,b,c,表示點,小寫字母,a,b,c,l,m,n,表示直線,且把直線和平面看成點的集合,因而能借用集合論中的符號表示...
立體幾何知識點總結一
第一部分空間幾何體的結構 三檢視和直觀圖 1 多面體的結構特徵 1 稜柱的側稜都互相平行,上下底面是全等的多邊形 2 稜錐的底面是任意多邊形,側面是有乙個公共頂點的三角形 3 稜臺可由平行於底面的平面截稜錐得到,其上下底面是相似多邊形 2 旋轉體的結構特徵 1 圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉一周得...