立體幾何知識點總結一

第一部分空間幾何體的結構、三檢視和直觀圖

1．多面體的結構特徵

(1)稜柱的側稜都互相平行，上下底面是全等的多邊形．

(2)稜錐的底面是任意多邊形，側面是有乙個公共頂點的三角形．

(3)稜臺可由平行於底面的平面截稜錐得到，其上下底面是相似多邊形．

2．旋轉體的結構特徵

(1)圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉一周得到．

(2)圓錐可以由直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉一周得到．

(3)圓台可以由直角梯形繞直角腰所在直線旋轉一周或等腰梯形繞上下底面中心所在直線旋轉半周得到，也可由平行於底面的平面截圓錐得到．

(4)球可以由半圓面繞直徑旋轉一周或圓面繞直徑旋轉半周得到．

3．空間幾何體的三檢視

空間幾何體的三檢視是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三檢視包括正檢視、側檢視、俯檢視．

4．空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：

(1)畫幾何體的底面

在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交於點o，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交於點o′，且使∠x′o′y′＝45°或135°，已知圖形中平行於x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行於x′軸、y′軸．已知圖形中平行於x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行於y軸的線段，長度變為原來的一半．

(2)畫幾何體的高

在已知圖形中過o點作z軸垂直於xoy平面，在直觀圖中對應的z′軸，也垂直於x′o′y′平面，已知圖形中平行於z軸的線段，在直觀圖中仍平行於z′軸且長度不變．

乙個規律

三檢視的長度特徵：「長對正，寬相等，高平齊」，即正檢視和側檢視一樣高，正檢視和俯檢視一樣長，側檢視和俯檢視一樣寬．若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三檢視中，要注意實、虛線的畫法．

兩個概念

(1)正稜柱：側稜垂直於底面的稜柱叫做直稜柱，底面是正多邊形的直稜柱叫做正稜柱．反之，正稜柱的底面是正多邊形，側稜垂直於底面，側面是矩形．

(2)正稜錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的稜錐叫做正稜錐．特別地，各稜均相等的正三稜錐叫正四面體．反過來，正稜錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心．

基礎梳理

第二部分空間幾何體的表面積與體積

1．柱、錐、臺和球的側面積和體積

2.幾何體的表面積

(1)稜柱、稜錐、稜臺的表面積就是各面面積之和．

(2)圓柱、圓錐、圓台的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環形；它們的表面積等於側面積與底面面積之和．

兩種方法

(1)解與球有關的組合體問題的方法，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關係，並作出合適的截面圖，如球內切於正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的稜長等於球的直徑；球外置於正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等於球的直徑．球與旋轉體的組合，通常作它們的軸截面進行解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側稜和球心或「切點」、「接點」作出截面圖．

(2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三稜錐的高．這一方法迴避了具體通過作圖得到三角形(或三稜錐)的高，而通過直接計算得到高的數值．

最常見幾何體的三檢視

[, ]——正四面體：對於稜長為正四面體的問題可將它補成乙個邊長為

的正方體問題。

對稜間的距離為（正方體的邊長）

正四面體的高（）

正四面體的體積為（）

正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為（）

外接球的半徑為（是正方體的外接球，則半徑）

內切球的半徑為（是正四面體中心到四個面的距離，則半徑）

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