§4.12.2 小結與複習(二)、(三)
教學目標
(一)知識目標
1.任意角的概念、弧度制、任意角的三角函式的概念、同角三角函式間的關係、誘導公式;
2.兩角和與差的三角函式、二倍角的三角函式;
3.三角函式的圖象和性質、已知三角函式值求角.
(二)能力目標
1.理解任意角的概念、弧度的意義;能正確地進行弧度與角度的換算;
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義,並會利用與單位圓有關的三角函式線表示正弦、余弦和正切;了解任意角的餘切、正割、餘割的定義;掌握同角三角函式的基本關係式;掌握正弦、余弦的誘導公式;
3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;
4.能正確運用三角公式,進行三角函式式的化簡、求值及恒等式證明;
5.會用與單位圓有關的三角函式線畫出正弦函式、正切函式的圖象,並在此基礎上由誘導公式畫出余弦函式的圖象;理解週期函式與最小正週期的意義;並通過它們的圖象理解正弦函式、余弦函式、正切函式的性質;會用「五點法」畫正弦函式、余弦函式和函式y=asin(ωx+)的簡圖,理解a、ω、的物理意義;
6.會用已知三角函式值求角,並會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示.
(三)德育目標
1.滲透「化歸」思想;
2.培養邏輯推理能力;
3.提高解題能力.
教學重點
三角函式公式、三角函式(尤其是正弦函式、余弦函式、正切函式)的圖象和性質的應用.
教學難點
靈活應用三角公式,正弦、余弦、正切函式的圖象和性質解決問題.
教學方法
講練結合法
通過講解強化訓練題目,加深對三角函式知識的理解,提高對三角函式知識的應用能力.
教學過程
a組1.解:(1) z},
(2) z},
(3) z},
(4) z},-2π,0,2π
評述:這一題目要求我們首先要準確寫出集合s,並判斷k可取何值時,能使集合s中角又屬於所要求的範圍.
2.解:由l=|α|r得
cmcm2
答:周長約44 cm,面積約1.1×10 cm2
評述:這一題需先將54°換算為弧度數,然後分別用公式進行計算.
3.(1)sin4<0;(2)cos5>0;(3)tan8<0;(4)tan(-3)>0.
評述:先判斷角所屬象限,然後確定其三角函式的符號.
當為第一象限角時,sin=,tan=;
當為第四象限角時,sin=-,tan=-.
評述:先由已知條件確定角所屬象限,然後結合同角三角函式基本關係式,求出另外的三角函式值.
5.解:由sinx=2cosx,得tanx=2
∴x為第一象限或第三象限角
當x為第一象限角時
tanx=2,cotx=,cosx=,secx=,sinx=,cscx=
當x為第三象限角時
tanx=2,cotx=,cosx=-,secx=-,sinx=-,cscx=-
評述:注意靈活使用同角三角函式的基本關係式的變形式,即「1」的妙用,這也是三角函式式化簡過程中常用的技巧之一,另外,注意及時使用誘導公式和三角函式圖象和性質:當α∈[0,)時,sinα<cosα.
7.解:sin4α-sin2α+cos2α=sin2α(sin2α-1)+cos2α=(1-cos2α)(-cos2α)+cos2α
=-cos2α+cos4α+cos2α=cos4α
評述:注意使用sin2α+cos2α=1及變形式.
8.證明:(1)左邊=2(1-sinα)(1+cosα)=2(1-sinα+cosα-sinαcosα)
=2-2sinα+2cosα-sin2α
右邊=(1-sinα+cosα)2=[1-(sinα-cosα)]2
=1-2(sinα-cosα)+(sinα-cosα)2
=1-2sinα+2cosα+sin2α+cos2α-2sinαcosα
=2-2sinα+2cosα-sin2α
∴左邊=右邊
即原式得證.
(2)左邊=sin2α+sin2β-sin2α·sin2β+cos2α·cos2β
=sin2α(1-sin2β)+cos2α·cos2β+sin2β
=sin2α·cos2β+cos2α·cos2β+sin2β
=cos2β(sin2α+cos2α)+sin2β=1=右邊
∴原式得證
評述:三角恒等式的證明一般遵循由繁到簡的原則.
9.解:(1)
將tanα=3代入得,原式=
(2)sinαcosα=tanα·cos2α=tanα·
(3)(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+2×
評述:注意挖掘已知條件與所求結論中的三角函式的關係.
10.解:(1)sinπ+cosπ+tan(-π)=sin+cos-tan=
(2)sin2+cos3+tan4≈1.0777
評述:注意靈活應用誘導公式化簡後再求值.
11.解:(1)∵sin(π+α)=-=-sinα
∴sinα=
∴cos(2π-α)=cosα=±
當α為第一象限時,cosα=
當α為第二象限時,cosα=-
(2)tan(α-7π)=-tan(7π-α)=tanα
當α為第一象限時,tanα=
當α為第二象限時,tanα=-
評述:要注意討論角的範圍.
12.解:(1)sin378°21′=sin18°21′=0.3148
(2)sin(-879°)=-sin(159°)=-sin21°=-0.3584
(3)sin3=0.1409
評述:要用誘導公式將其轉化為銳角三角函式值問題.
13.解:設0<x<2π
14.解:∵cosα=-且π<α<
∴sinα=-,∴tanα=
∴tan(-α)=
評述:仔細分析題目,要做到有的放矢.
15.解:∵sinα=,α為銳角 ∴cosα=
又∵sinβ=,β為銳角 ∴cosβ=
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
又∵0說明:若先求出sin(α+β)=,則需否定α+β=.
評述:一般地,若所求角在(0,π)上,則一般取此角的余弦較為簡便;若所求角在(-,)上,則一般取此角的正弦較為簡便.
16.(1)證明:∵
∴tan(a+b)=tan=1=
即:tana+tanb=1-tanatanb
∴tana+tanb+tanatanb=1
∵(1+tana)(1+tanb)=1+tana+tanb+tanatanb
∴(1+tana)(1+tanb)=2
(2)證明:由(1+tana)(1+tanb)=2得
tana+tanb=1-tanatanb
又∵0<a<,0<b<
∴tana+tanb>0
即tan(a+b)=1
又∵0<a+b<π
∴a+b=
(3)解:由上述解答過程可知:
兩銳角之和為直角之半的充要條件是(1+tana)(1+tanb)=2不可以說「兩個角a、b之和為的充要條件是(1+tana)(1+tanb)=2」因為在(2)小題中要求a、b都是銳角.
17.證明:設正方形的邊長為1
則tanα=,tanβ=
∴tan(α+β)=
又∵0評述:要緊扣三角函式定義.
18.證明:∵0<α,β,γ<
且tanα=<1,tanβ=<1,tanγ=<1
∴0<α,β,γ<
又∵tan(α+β+γ)=1
0<α+β+γ<
∴α+β+γ=45°
19.解:(1)由cos2α=
得(2)
(3)由sinθ+cosθ=
得(sinθ+cosθ)2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ=
∴sin2θ=-
(4)∵(sin+cos)2=1+2sin·cos=
(sin-cos)2=1-2sin·cos=
又∵<<
∴sin+cos= sin-cos=
∴sin=,cos=
20.解:設△abc的底為a,則腰長為2a
∴sin= cos=
∴sina=2sincos=
cosa=2cos2-1=-1=
tana=.
21.證明:p=iv=imsinωt·vmsinsinωtcosωt=imvmsin2ωt
22.證明:由題意可知:
sin=
cos=
∴sinθ=2sincos=2··=
23.解:由教科書圖4—12,可知:
當α為某一象限角時,有:
|sinα|=|mp|,|cosα|=|om|
∵|mp|+|om|>|op|=1,
∴|sinα|+|cosα|>1
當α的終邊落在座標軸上時,有|sinα|+|cosα|=1.
因此,角α的正弦絕對值與余弦絕對值之和不小於1.
評述:要注意數形結合這種重要的數學思想的利用.
24.解:(1)由1-tanx≠0,得tanx≠1
∴x≠kπ+且x≠kπ+,k∈z
∴函式y=的定義域為:
{x|x≠kπ+且x≠kπ+,k∈z}
(2)由≠kπ+得x≠2kπ+π,k∈z
∴y=tan的定義域為{x|x≠2kπ+π,k∈z}
25.解:(1)由cos2x=1.5,得cosx=±
又∵[-1,1]
∴cos2x=1.5不能成立.
(2)由sinx-cosx=sin(x-)∈[-,]
∴sinx-cosx=2.5不能成立
(3)當x=時,tanx=1
∴tanx+=2有可能成立
(4)由sin3x=-得sinx=-∈[-1,1]
∴sin3x=-成立.
評述:要注意三角函式的有界性.
26.解:(1)當sinx=1時,即x=2kπ+,k∈z時,
y=+取得最大值.
∴y=+的最大值為+.
使y取得最大值的x的集合為{x|x=+2kπ,k∈z}.
當sinx=-1時,即x=-+2kπ時.
y=+取得最小值.
∴y=+的最小值為-.
使y取得最小值的x的集合為{x|x=-+2kπ,k∈z}.
(2)當cosx=-1即x=(2k+1)π時,
y=3-2cosx取得最大值,
∴y=3-2cosx的最大值為5.
使y取得最大值的x的集合為{x|x=2kπ+π,k∈z}.
當cosx=1,即x=2kπ時
y=3-2cosx取得最小值
∴y=3-2cosx的最小值為1
使y取得最小值的x的集合為{x|x=2kπ,k∈z}
27.解:(1)y=sinx-cosx(x∈r)=2sin(x-),
∴ymax=2,ymin=-2
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