1．利用導數研究函式的單調性極值和最值，再由單調性來證明不等式是函式、導數、不等式綜合中的乙個難點，也是近幾年高考的熱點。
2．解題技巧是構造輔助函式，把不等式的證明轉化為利用導數研究函式的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造乙個可導函式是用導數證明不等式的關鍵。
以下介紹建構函式法證明不等式的八種方法：
【題型1】移項法建構函式
【例1】 已知函式，求證：當時，恒有。
【分析】本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函式證明，左邊建構函式，從其導數入手即可證明。
【解析】當時，，即在上為增函式；當時，，即在上為減函式，故函式的單調遞增區間為，單調遞減區間，於是函式在上的最大值為，因此，當時，，即（右面得證），現證左面，令，則，當時，當時，，即在上為減函式，在上為增函式，故函式在上的最小值為，∴當時，，即，綜上可知，當時，有。
【警示啟迪】如果是函式在區間上的最大（小）值，則有（或），那麼要證不等式，只要求函式的最大值不超過就可得證。
【題型2】作差法建構函式證明
【例2】 已知函式求證：在區間上，函式的圖象在函式的圖象的下方。
【分析】函式的圖象在函式的圖象的下方不等式問題，即，只需證明在區間上，恒有成立，設，考慮到，要證不等式轉化變為：當時，，這只要證明在區間是增函式即可。
【解析】設，即，則，
當時，，從而在上為增函式，，∴當時，即，故在區間上，函式的圖象在函式的圖象的下方。
【警示啟迪】本題首先根據題意構造出乙個函式（可以移項，使右邊為零，將移項後的左式設為函式），並利用導數判斷所設函式的單調性，再根據函式單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設做一做，深刻體會其中的思想方法。
【題型3】換元法建構函式證明
【例3】 證明：對任意的正整數，不等式都成立。
【分析】本題是年山東卷的第⑵問，從所證結構出發，只需令，則問題轉化為：當時，恒有成立，現建構函式，求導即可達到證明。
【解析】令，則在上恆正，所以函式在上單調遞增，時，恒有即，∴，對任意正整數，取，則有。
【警示啟迪】我們知道，當在上單調遞增，則時，有。如果，要證明當時，，那麼，只要令，就可以利用的單調增性來推導，也就是說，在可導的前提下，只要證明即可。
【題型4】從條件特徵入手建構函式證明
【例4】 若函式在上可導且滿足不等式恆成立，且常數滿足，求證
【解析】由已知建構函式，則在上為增函式，，即。
【警示啟迪】由條件移項後，容易想到是乙個積的導數，從而可以建構函式，求導即可完成證明。若題目中的條件改為，則移項後，要想到是乙個商的導數的分子，平時解題多注意總結。
【題型5】主元法建構函式
【例5】 已知函式
⑴求函式的最大值；
⑵設,證明 ：.
【分析】對於⑵絕大部分的學生都會望而生畏。學生的盲點也主要就在對所給函式用不上。如果能挖掘一下所給函式與所證不等式間的聯絡，想一想大小關係又與函式的單調性密切相關，由此就可過渡到根據所要證的不等式構造恰當的函式，利用導數研究函式的單調性，借助單調性比較函式值的大小，以期達到證明不等式的目的。
證明如下：
【證明】對求導,則。在中以為主變元建構函式,設,則。
①當時，,因此在內為減函式；②當時, ,因此在上為增函式。從而當時,有極小值。因為所以,即。又設，則.
當時,，因此在上為減函式，因為所以,即。
【題型6】構造二階導數函式證明導數的單調性
【例6】 已知函式
⑴若在上為增函式,求的取值範圍;⑵若,求證:時,。
【解析】⑴在上為增函式，對恆成立，即對恆成立，記，則，當時，；當時，，知在上為增函式,在上為減函式,在時,取得最大值，即，即的取值範圍是。
⑵記，則，令,則。當時,在上為增函式,又在處連續,，即在上為增函式,又在處連續, ,即。
【小結】當函式取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恆成立，從而把不等式的恆成立問題可轉化為求函式最值問題．不等式恆成立問題，一般都會涉及到求引數範圍，往往把變數分離後可以轉化為(或)恆成立，於是大於的最大值（或小於的最小值），從而把不等式恆成立問題轉化為求函式的最值問題．因此，利用導數求函式最值是解決不等式恆成立問題的一種重要方法。
【題型7】對數法建構函式（選用於冪指數函式不等式）
【例7】 證明當時。
【證明】對不等式兩邊同時取對數得，化簡得，設輔助函式，又，則可知在上嚴格單調增加，從而
又由在上連續，且得在上嚴格單調增加，所以，即，故。
【題型8】構造形似函式
【例8】 證明當，證明。
【解析】要證，只需證，即。設
，易知在上是減函式，又，所以結論得證。
【例9】 已知都是正整數，且證明：
【證明】原不等式等價於，令，則，即在上嚴格遞減，所以，即。
【練習題】
1. 設，求證：當時，恒有。
【證明】，當時，不難證明，即在內單調遞增，故當時，當時，恒有。
2. 已知定義在正實數集上的函式
其中，且，求證：。
【證明】設則
當時，，故在上為減函式，在上為增函式，於是函式在上的最小值是，故當時，有，即。
3. 已知函式，求證：對任意的正數，恒有。
【證明】函式的定義域為當時，，即在上為減函式；當時，，即在上為增函式，因此在時取得極小值，而且是最小值，於是，從而，即，令，則，於是，因此。
4. 函式是定義在上的非負可導函式，且滿足，對任意正數，若，則必有
【解析】，故在上是減函式，由有。
建構函式證明不等式
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