1．1．1正弦定理知識導讀-評價單
設計人審核人： 序號：
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學習目標
知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關係的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。
過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發,共同**在任意三角形中，邊與其對角的關
系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，並進行定理基本應
用的實踐操作。
情感態度與價值觀：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函式、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯絡來體現事物之間的普遍聯絡與辯證統一。
重點難點
1.重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。
2.難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。
知識導讀
(1) 如圖，在rtabc中，設bc=a,ac=b,ab=c, 根據銳角三角函式中正弦函式的定義，
有，，又
則結論：在直角三角形abc中
(2) 如圖， 當abc是銳角三角形時，設邊ab上的高是cd，
根據三角函式的定義，
有cd=asinb則，
同理可得
從而（3）當abc是鈍角三角形時，以上關係式仍然成立。即
由上面的討論和**，我們得到下面的定理
正弦定理
即一般的 ，把三角形的三個角和a,b,c和它們的對邊 a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做
預習評價
1. 在中，已知下列條件解三角形。
（1），，， （2），，
（3）a=20cm , b=11cm, b=3004）c=54cm, b=39cm, c=1050
2.已知δabc 已知a=600，b=300，a=3；求邊b=（ ） :
d3.已知δabc 已知a=450，b=750，b=8；求邊ａ＝（ ）
a 8 b 4 c 4-3 d 8-8
4.已知a+b=12 b=450 a=600 則ab
未解決問題：
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1．1．1正弦定理問題解決-評價單
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問題1、如圖，在△abc中，∠a為鈍角，證明
問題2、三角形中的邊角有怎樣的不等關係？
在△abc中，若a＞b＞c，可得a＞b＞c, 則sin ＞sin ＞sin
反之，若sin ＞sin ＞sin ，可得a＞b＞c, 則a＞b＞c
即：a＞b＞c sina＞sinb＞sinc，
問題3、已知三角形的哪幾個元素，可以利用正弦定理解相應的三角形？
型別一已知兩角及一邊解三角形
[例1] 在△abc中，已知a＝8，b＝60°，c＝75°，求a，b，c.
型別二已知兩邊及一邊的對角解三角形
[例2] 下列三角形是否有解？有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，a＝105°；
(2)b＝10，c＝5，c＝60°；
(3)a＝2，b＝6，a＝30°.
型別三判斷三角形的形狀
[例3] 在△abc中，若sin2a＝sin2b＋sin2c，sina＝2sinb·cosc，試判斷△abc的形狀．
未解決問題：
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1．1．1正弦定理問題拓展-評價單
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1試判斷下列三角形解的情況：
已知則三角形abc有（ ）解
a , 一 b , 兩 c , 無解
2、已知則三角形abc有（ ）解
a, 一 b, 兩 c, 無解
3、在中，三個內角之比，那麼等於____
4、在中，, b=1350 c=150 a=5則此三角形的最大邊長為_____
5、在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有兩解，
則x的取值範圍是_____
6、在中，已知，求的度數
7、已知在δabc中,三內角的正弦比為4:5:6，三角形的周長為7.5，則其三邊長分別為
8、在δabc中，利用正弦定理證明
9、10、(1)乙個三角形的兩內角分別為45°與60°，如果45°角所對的邊長是6，那麼60°角所對的邊的邊長為( )
a．3 b．3
c．3d．2
(2)在△abc中，若tana＝，c＝150°，bc＝1，則ab
11、在△abc中，a＝60°，a＝4，b＝4，則b＝( )
a．45°或135° b．135°
c．45d．以上答案都不對
12、已知方程x2－(bcosa)x＋acosb＝0的兩根之積等於兩根之和，且a，b為△abc的兩邊，a，b分別為a，b的對角，試判斷△abc的形狀．
補充作業
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1．1．1正弦定理問題解決-評價單
問題1、如圖，設ab邊上的高為cd.
∵∠bac＝180°－∠dac，
∴sin∠bac＝sin(180°－∠dac)＝sin∠dac.
∴cd＝bsin∠dac＝bsin∠bac，且cd＝asinb.
∴bsin∠bac＝asinb，即＝. 同理：＝.
綜上所述：＝＝.
問題2、在△abc中，若a＞b＞c，可得a＞b＞c, 則sin a ＞sin b ＞sin c
反之，若sin a ＞sinb ＞sin c ，可得a＞b＞c, 則a＞b＞c
即：a＞b＞c sina＞sinb＞sinc，
問題3、(1)已知三角形的任意兩角和一邊，求其它兩邊和另一角．
(2)已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對角，求另一邊及另兩角．
[例1]
[分析] 已知兩角和一邊，可由內角和求第三個角a，再由正弦定理求b，c.
[解] a＝180°－(b＋c)＝180°－(60°＋75°)＝45°.
由正弦定理＝得， b＝＝＝4，
由＝得， c＝＝＝＝4(＋1)．
[例2]
[分析] 利用三角形中大邊對大角定理以及結合有解無解的圖形來考慮．
[解] (1)a＝7，b＝8，a90°，本題無解．
(2)b＝10，c＝5，b∵sinb＝＝＝， ∴b＝45°，a＝180°－(b＋c)＝75°.
∴a＝＝＝＝5(＋1)．
(3)a＝2，b＝6，a又∵bsina＝6sin30°＝3， a>bsina ∴本題有兩解．
由正弦定理得：
sinb＝＝＝，b＝60°或120°，
當b＝60°時，c＝90°，c＝＝＝4；
當b＝120°時，c＝30°，
[例3]
[分析]
[解] 記＝＝＝k， 則sina＝，sinb＝，sinc＝.
∵sin2a＝sin2b＋sin2c2＝()2＋()2，
即a2＝b2＋c2，a＝90c＝90°－b，cosc＝sinb.
∴1＝sina＝2sin2b，sinb＝.
∴b＝45°或b＝135°(a＋b＝225°>180°，捨去)．
∴△abc是以a為直角的等腰直角三角形．
1．1．1正弦定理問題拓展-評價單
1，b 2，a 3, 1∶∶2 4， 5， 2＜x＜
6 , 300或1500 7， 2∶2.5∶3
8，證明：設，則
9， 10, (1)令60°角所對的邊為a，
則＝，∴a＝3.
(2)∵tana＝，∴sina＝.
由正弦定理知 ab＝· sinc＝sin150°＝.
11，由＝，
得sinb＝＝＝.
∵a>b，∴a>b，而a＝60°，
∴b為銳角，∴b＝45°.
12，設方程的兩根為x1，x2，由韋達定理得x1＋x2＝bcosa，x1x2＝acosb.
由題意得bcosa＝acosb，
由正弦定理得sinbcosa＝sinacosb，
即sinacosb－cosasinb＝0.
∴sin(a－b)＝0.在△abc中，a，b為其內角，－π即△abc為等腰三角形．
《正弦定理》問題導讀評價單
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