備課資料
一、知識總結
1.判斷三角形解的方法
「已知兩邊和其中一邊的對角」解三角形,這類問題分為一解、二解和無解三種情況.一方面,我們可以利用課本上的幾何圖形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函式的有界性進行分析.
設已知a、b、a,則利用正弦定理 ,
如果sinb＞1,則問題無解. 如果sinb＝1,則問題有一解;
如果求出的sinb＜1,則可得b的兩個值,但要通過「三角形內角和定理」或「大邊對大角」等三角形有關性質進行判斷.
2.利用三角形面積證明正弦定理
已知△abc,設bc＝a, ca＝b,ab＝c,作ad⊥bc,垂足為d.
則rt△adb中, , ∴ad=ab·sinb=csinb. ∴s△abc=.
同理,可證 s△abc=.
∴ s△abc=.
∴absinc=bcsina=acsinb,
在等式兩端同除以abc,可得. 即.
3.利用正弦定理進行邊角互換
對於三角形中的三角函式,在進行恒等變形時,常常將正弦定理寫成
a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc或sina=.（r為△abc外接圓半徑）
這樣可以很方便地把邊和角的正弦進行轉換,我們將在以後具體應用.
二、典型例題
1．若△abc中(a2+b2)sin(a-b)=(a2-b2)sinc,則△abc是（ ）
a.等腰三角形b.直角三角形
c.等腰直角三角形d.等腰或直角三角形
分析:運用正弦定理a=2rsina,b=2rsinb以及結論sin2a-sin2b =sin(a+b)sin(a-b),
由（a2+ b2）sin(a-b) = (a2- b2)sinc,
∴(sin2a+sin2b)sin(a-b) =(sin2a-sin2b)sinc=sin(a+b)·sin(a-b)·sinc.
若sin(a-b)= 0,則 a = b.
若sin(a-b)≠0,則sin2a+sin2b=sin2ca2+b2=c2.
∴△abc為等腰三角形或直角三角形.故答案選d.
2.在△abc中,a=45°，b∶c = 4∶5，最大邊長為10，求角b、c,外接圓半徑及面積s.
分析：由a+b+c=180°及b∶c=4∶5,可得b=4k,c=5k，
則9k=135°，故k=15°.那麼b=60°，c =75°. 由正弦定理,
由面積公式.
點評：求面積時b未知但可轉化為b=2rsinb,從而解決問題.
3.在△abc中,已知a=30°，a、b分別為角a、b對邊，且a=4，b=4，解此三角形.
分析：由正弦定理知.
那麼b1=60°，c1=90°，c1=8或b2=120°，c2=30°，c2=4.
點評：若已知三角形兩邊和其中一邊上的對角，如圖可以看出滿足條件的三角形有2個.
4.已知△abc的三個內角成等差數列並且tana·tanc =2+,（1）求a、b、c的度數;（2）若ab邊上的高cd=4,求三邊a、b、c的長．
分析：（1）由2b=a+c，得b=60°，則a+c=120°，
. 即(2+3)cosa·cosc-sina·sinc=0
(1+)cosa·cosc+ (cosa·cosc-sina·sinc)=0
(1+)·［cos(a+c)+cos(a-c)］+cos(a+c)=0
［- +cos(a-c)］+cos(a+c)=0.∴cos(a-c)=.
得|a-c|=30°.又∵a+c=120°.∴a=45°,c=75°或a=75°,c=45°.
（2）如圖,若a＜b＜c,由正弦定理得
a=8，b=4，c=bcosa+acosb=4(+1).
同理，若a＞b＞c時，則a=4(3+1)，b=46,，c =8.
點評：這類具有一定綜合性的題目，恒等變形有一定的技巧.由三個角成等差得a+c=120°,恒等變形的目標就是尋找a與c的關係，用恒等變形的方法的觀點對條件等式進行轉化．
此題還可以由tana·tanc =2+求出tana+tanc =3+，運用韋達定理解出tana和tanc,這對綜合能力的訓練大有益處．
1 1 1正弦定理
武安市第十中學申巨集偉 一 教學內容分析 正弦定理 是 普通高中課程標準實驗教科書 數學 必修5 人教版 第一章第一節的主要內容，它既是初中 解直角三角形 內容的直接延拓，也是三角函式一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產 生活實際問題的重要工具...
1 1 1正弦定理
第一章解三角形 1.1 正弦正理和餘弦定理 1.1.1 正弦定理 選題明細表 基礎鞏固 1.在三角形abc中,a 120 ab 5,bc 7,則的值為 a a b c d 解析 由正弦定理得 得sin c 且c為銳角,所以cos c 因為a b c 所以sin b sin a c sin acos ...
1 1 1正弦定理
課題 正弦定理 課型 新授編號 01 時間 2011 9 1 一 教學目標 一 知識目標 1 掌握正弦定理內容及證明定理的方法。2 會運用正弦定理解決兩類基本的解三角形問題。二 能力目標 培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力以及探索數學規律的思維能力 三 思想目標 通過三角函式，正弦定...