，當且僅當bi=lai (1in)時取等號
柯西不等式的幾種變形形式
1.設air,bi>0 (i=1,2,…,n)則，當且僅當bi=lai (1in)時取等號
2.設ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當且僅當b1=b2=…=bn時取等號
例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn為正數，求證：
證明：左邊=
例2.對實數a1,a2,…,an,求證：
證明：左邊=
例3.在dabc中，設其各邊長為a,b,c,外接圓半徑為r，求證：
證明：左邊
例4.設a,b,c為正數，且a+b+c=1,求證：
證明：左邊=
==例5.若n是不小於2的正整數，試證：
證明：所以求證式等價於
由柯西不等式有
於是：又由柯西不等式有
<例6.設x1,x2,…,xn都是正數(n2)且，求證：
證明：不等式左端即 (1)
∵，取，則 (2)
由柯西不等式有 (3)
及綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得：
三、排序不等式
設a1a2…an,b1b2…bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，則有：
a1bn+ a2bn-1+…+ anb1a1br1+ a2br2+…+ anbrn a1b1+ a2b2+…+ anbn
反序和亂序和同序和
例1.對a,b,cr+,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小
解：取兩組數a,b,c；a2,b2,c2，則有a3+b3+c3a2b+b2c+c2a
例2.正實數a1,a2,…,an的任一排列為a1/,a2/,…an/，則有
證明：取兩組數a1,a2,…,an；
其反序和為，原不等式的左邊為亂序和，有
例3.已知a,b,cr+求證：
證明：不妨設abc>0,則》0且a12b12c12>0
則例4.設a1,a2,…,an是1,2,…,n的乙個排列，求證：
證明：設b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的乙個排列，且b1c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的乙個排列,且c1則且b11,b22,…,bn-1n-1；c12,c23,…,cn-1n
利用排序不等式有：
例5.設a,b,cr+,求證：
證明：不妨設abc,則，a2b2c2>0
由排序不等式有：
兩式相加得
又因為：a3b3c3>0,
故兩式相加得
例6.切比雪不等式：若a1a2…an且b1b2…bn,則
a1a2…an且b1b2…bn,則
證明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn a1b3+a2b4+…+anb2
a1b1+a2b2+…+anbn a1bn+a2b1+…+anbn-1
將以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2+…+anbn) a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)∴
課時作業63幾個重要不等式的證明及其應用
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