數列求和
數列求和是數列的重要內容之一，也是高考數學的重點考查物件。數列求和的基本思路是，抓通項，找規律，套方法。下面介紹數列求和的幾種常用方法：
一、公式法
二、分組求和法
對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併
三、裂項求和法
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.
四、錯位相減法
設數列的等比數列，數列是等差數列，則數列的前項和求解，均可用錯位相減法
五、倒序相加法
如果乙個數列，與首末兩項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到乙個常數列的和.
六、併項求和
針對一些特殊的數列，將某些項合併在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然後再求sn.
例1：設函式的圖象上有兩點p1(x1, y1)、p2(x2, y2)，若,且點p的橫座標為.
（1）求證：p點的縱座標為定值，並求出這個定值；
（2）若
解：（1）∵,且點p的橫座標為.
∴p是的中點，且
由（1）知，
，（1）+（2）得
例2：在數列中，，其中．
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和；
（1）解：由，，
可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為．
（2）解：設， ①
②當時，①式減去②式，得，．
這時數列的前項和．
當時，．這時數列的前項和．
例3：在直角座標平面上有一點列對一切正整數n，點位於函式的影象上，且的橫座標構成以為首項，-1為公差的等差數列
（1） 求點的座標
（2） 設拋物線列中的每一條對稱軸都垂直與x軸，第n條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切於的直線的斜率為，求：
例5：定義數列如下：
證明：（1）當，有成立。
（2）。
解：（1）由得：
以上各式兩邊分別相乘得：
又 （2）要證不等式，
可先設法求和：，再進行適當的放縮。
又原不等式得證。
練習：1. 求的值
1.解：設 （1）
（2）又因為＝89
∴ s＝44.5
2. 設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
解：由等差數列求和公式得，
∴ 當，即n＝8時，
3.求數5，55，555，…，55…5 的前n項和sn
解： 因為55…5=
所以 sn=5+55+555+…+55…5
== =4.設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，，
（ⅰ）求，的通項公式；
（ⅱ）求數列的前n項和．
解：（ⅰ）設的公差為，的公比為，則依題意有且
解得，．所以，．
（ⅱ）．
，①，②
②－①得，
5.數列中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1－an,(n∈n*).
(1)求數列的通項公式；
(2)設sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求sn;
(3)設bn= (n∈n*),tn=b1+b2+……+bn(n∈n*),是否存在最大的整數m，使得對任意n∈n*均有tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知成等差數列，
d==－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當n≤5時，sn=－n2+9n，當n＞5時，sn=n2－9n+40，故sn=
(3)bn=
；要使tn＞總成立，需＜t1=成立，即m＜8且m∈z，故適合條件的m的最大值為7.
6. 已知數列：的值.
∴7.已知數列的前項和滿足：，
（1）寫出數列的前三項，，；
（2）求數列的通項公式；
（3）證明：對任意的整數，有
解：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得：（n>1）
化簡得：
,故數列{}是以為首項, 公比為的等比數列.
故 ∴
∴數列{}的通項公式為：.
⑶觀察要證的不等式，左邊很複雜，先要設法對左邊的項進行適當的放縮，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數列的前n項公式求和，由於-1與1交錯出現，容易想到將式中兩項兩項地合併起來一起進行放縮，嘗試知：，
，因此，可將保留，再將後面的項兩兩組合後放縮，即可求和。這裡需要對進行分類討論，（1）當為偶數時，
（2）當是奇數時，為偶數，
所以對任意整數，有。
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