齊宸圖一:（表中數字不含個位）
上圖是一種不同於以往的素數篩法，通過此篩法可以看到素數、合數都是由等差數列演變而來的。合數是數列項，素數是非數列項。如上圖中的非數列項加上個位後，13、23、43、53、73、83、103、113等都是素數。
1、合數公式
要想使兩個數字相乘結果的個位為3，則這兩個數字的個位應分別是1、3或是7、9。如1 * 3 = 3；7 * 9 =63。
自然數（10i+3）與自然數（10k+1）相乘
(10i+3)(10k+1) 其中i>=0;k>=1
=100ik+30k+10i+3
=10(10i+3)k+10i+3
去掉個位後得到公式：(10i+3)k+i 其中i>=0;k>=1
同樣可以證明剩餘的9組合數公式（去掉了個位），彙總如下：
第一類：個位為1：(10i+1)k+i; (10i+3)k+7i+2; (10i+9)k+9i+8
第二類：個位為3：(10i+3)k+i; (10i+7)k+9i+6
第三類：個位為7：(10i+7)k+i; (10i+3)k+9i+2
第四類：個位為9：(10i+9)k+i; (10i+3)k+3i; (10i+7)k+7i+4
因去掉了個位，這時的孿生素數可用乙個數字即可表示（只研究11-13這樣型別的孿生素數，以後稱1-3型孿生素數）。如11、13去掉個位後分別是：1、1。
也可以說「1」就是乙個孿生素數（其實1也是三胞胎、四胞胎素數）。
2、新篩法：合數公式篩法
圖二: （表中數字不含個位）
圖2是用與圖1同樣的方法將個位為1和個位為3的合數公式同時篩選。列中沒有數字的空列就是篩選後的非數列項，若某數字在個位為1和個位為3中均為非數列項。則顯而易見該數字就是孿生素數。
如1列、4列是空列，則加上相應的個位1、3後，則11、13；41、43分別組成兩對孿生素數。
3、等差數列倍增規律：
似乎無人研究過等差數列還有倍增規律（等差數列在兩個方面均存在倍增規律），比如下面這個等差數列：
3、13、23、33、43、53、63、73、83。這是個標準的等差數列，自3開始到43共包含5個數列項36個非數列項。倍增後到第9項83，自43到83共包含5個數列項和36個非數列項。
數列項數和非數列項數與前半部分是一樣的。就是說等差數列增加一倍則等差數列中的數列項個數及非數列項個數亦增加一倍，這就是等差數列倍增規律。
多個等差數列合併後仍具有此規律。而合數、素數就是由若干等差數列合併後形成的。或者說，在較大的任意數n內含有a個素數，則在2n內應含有2a個素數。
（因倍增點不在公共數列項上，故2n內應含有大致2a個素數）
4、1-3型孿生素數猜想的證明
將個位為1和個位為3的五組合數公式逐個展開至數列項值不大於n。這時，每組都有若干數列，每個數列有若干數列項，最大值不大於n。同樣方法，將數列項的值擴大到不大於2n，此時每組會增加約一倍數列，每個數列也會增加一倍數列項。
根據合數公式可知各組數列中的第1個數列項也各構成乙個等差數列（第二個數列項也是如此），如圖1中的第5、6、7行中的首項6；15；24。我們在擴大數列項值到2n時，新增加的數列只有前兩個數列項在2n以內，其餘的均超出了2n範圍。將這兩列等差數列也同其他數列一樣考慮，相當於在n之內的數列多了兩行，而且不影響n內的孿生素數。
這時，就可以通過n之內的孿生素數個數a推導n-2n之間也存在大致a個孿生素數。這樣在最大的孿生素數n到2n之間的不但存在1-3型孿生素數。而且其個數與n之內的1-3型孿生素數大致相同（真實資料參看此文最後的附表）。
證明：（用pp表示「孿生素數」）
假設n為最大pp，a為n內pp的個數。據等差數列倍增規律，若n內有a個pp，則n-2n中有大致a個pp。故n後有比n大的pp，假設不成立。
證畢。按同樣的方法可以證明：
1-3-7型三胞胎素數、1-3-7-9型四胞胎素數、1-7型六素數、3-9型六素數無限。其他組合均可按此法證明。
附孿生素數、三胞胎素數、四胞胎素數倍增比值表。其比值逐漸向2倍接近。
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數列 版塊二 等差數列 等差數列的性質 學生版
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