摘要柯西不等式是乙個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用它，可以使一些較難得問題迎刃而解。文中給出柯西不等式等幾種證明方法，並舉例說明柯西不等式在數學中的廣泛應用.
關鍵詞柯西不等式； 證明; 應用.
中圖分類號 o123.1
1 引言
柯西不等式的應用比較廣泛，同時與其他科目有很大的聯絡，因此柯西不等式的研究具有很重要的實際應用意義.
本文主要等式文中給出柯西不等式等幾種證明方法，並舉例說明柯西不等式在數學中的廣泛應用.
2 預備知識
柯西不等式的內容:
設有兩組數和，則有
,或簡寫成
,當且僅當或全為0，或時取等號.
3 柯西不等式的證明
方法一：
因為,故原不等是成立.
方法二：
考查二次函式，
其中.將函式解析式展開，有
，注意到，對任意恆成立，故方程
,判別式，從而得
,當且僅當
,即，等號成立，故得證.方,
當且僅當時，取等號.
例2 如果，求的最小值.
解：,當且僅當時，等號成立.所以，所求的最小值為.
4.2 在證明不等式方面的應用
例1 已知,證明：.
證明由已知得
.由柯西不等式得
,兩邊平方，得，所以
，得證.
例2 已知正數滿足，求證：
.證明有柯西不等式，可得
，因為，所以
,又由於都是正數，且.所以
.4.3 在幾何上的應用
例已知繪室平面為，，點.
求證：點到平面的距離為.
.柯西不等式在理論中有很重要的地位，充分靈活地應用柯西不等式，會使問題更加方便快捷.
參考文獻
[1] 李玉琪,初等代數研究[m],北京:中國礦業大學出版社出版,1986,8:45.
[2] 李凋惠,一類不等式的證明[j],數學通報, 2000（8）.
[3] 杜座山,柯西不等式的一些應用[j],1982（1）.
柯西不等式及證明
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關於柯西不等式的應用和證明總結 柯西不等式簡介 所謂柯西不等式是指 設ai,bi r i 1,2 n,則 a1b1 a2b2 anbn 2 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 等號當且僅當 時成立。柯西不等式證法 柯西不等式的一般證法有以下幾種 1 柯西不等式的形式化寫法就是 記兩列數分...
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