關於柯西不等式的應用和證明總結
柯西不等式簡介:
所謂柯西不等式是指:設ai,bi∈r(i=1,2…,n,),則(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2),等號當且僅當==…=時成立。
柯西不等式證法:
柯西不等式的一般證法有以下幾種：
(1)柯西不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有乙個實根的條件，就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
(2)用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......
+bn^2)^(1/2)乘以cosx.
因為cosx小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^2+a2^2+......
+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
這就證明了不等式.
柯西不等式還有很多種，這裡只取兩種較常用的證法.
柯西不等式應用:
可在證明不等式，解三角形相關問題，求函式最值，解方程等問題的方面得到應用。
巧拆常數：
例：設a、b、c 為正數且各不相等。
求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均為正數
∴為證結論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立
∴原不等式成立。
像這樣的例子還有很多，詞條裡不再一一枚舉，大家可以在參考資料裡找到柯西不等式的證明及應用的具體文獻
柯西不等式強化訓練
1、 已知實數a，b，c滿足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求證：－≤c≤1.
解：∵a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1.
∴a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.
由柯西不等式(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2
知5(1－c2)≥(1－c)2，整理得3c2－c－2≤0.
解之得－≤c≤1.
2、 已知x≤0，且滿足3x＋4y＝13，求x2＋4y2的最小值．
錯解：由柯西不等式可知：
(32＋22)[x2＋(2y)2]≥(3x＋4y)2＝169.
∴13(x2＋4y2)≥169.
∴x2＋4y2≥13.
∴x2＋4y2的最小值為13.
錯解分析：本題錯誤的原因在於應用柯西不等式解題時忽視了公式中等號成立的條件．事實上等號成立需滿足三點：①x≤0；②3x＋4y＝13；③3×2y＝2x，即x＝3y.
解②③得x＝3，顯然不滿足x≤0.
正解：∵3x＋4y＝13，
∴2y＝，
∴x2＋4y2＝x2＋(2y)2＝x2＋()2
＝ (x2－6x＋13)
＝ [(x－3)2＋4]＝ (x－3)2＋13.
又∵x≤0，
∴當x＝0時，(x2＋4y2)min
＝×(0－3)2＋13＝.
∴x2＋4y2的最小值為.
練習1、(2023年高考浙江卷)設正實數a，b，c，滿足abc≥1.求＋＋的最小值．
證明：因為
(＋＋)[(a＋2b)＋(b＋2c)＋(c＋2a)]
≥(a＋b＋c)2
所以＋＋≥≥≥1
當a＝b＝c＝1，上述不等式取等號，
所以＋＋的最小值是1.
2、2．已知非負實數x，y，z滿足x＋ay＋(1－a)z＝1，其中0＜a＜1，設t＝x2＋ay2＋(1－a)z2
(1)求t的最小值；
(2)當t＝1時，求x的取值範圍．
解：(1)∵0＜a＜1，由柯西不等式得，
[x2＋(y)2＋(z)2][12＋()2＋()2]
≥[x＋ay＋(1－a)z]2＝1，
∴2t≥1，當且僅當＝＝，
即x＝y＝z＝時，取等號，
因此t的最小值為.
(2)∵0＜a＜1，由柯西不等式得，
[(y)2＋(z)2][( )2＋()2]≥[ay＋(1－a)z]2，
[ay2＋(1－a)z2]≥[ay＋(1－a)z]2，
∴1－x2≥(1－x)2，
∴0≤x≤1.
3、(2023年高考浙江卷)已知正數x，y，z滿足x＋y＋z＝1.
(1)求證：＋＋≥；
(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．
(1)證明：因為x＞0，y＞0，z＞0，
所以由柯西不等式得
[(y＋2z)＋(z＋2x)＋(x＋2y)][ ＋＋]≥(x＋y＋z)2
又因為x＋y＋z＝1，所以
＋＋≥＝
(2)解：由均值不等式得
4x＋4y＋4z2≥3
因為x＋y＋z＝1，所以
x＋y＋z2＝1－z＋z2＝(z－)2＋≥，
故4x＋4y＋4z2≥3＝3.
當且僅當x＝y＝，z＝時等號成立，
4、4．(2023年學軍中學模擬)已知正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，
(1)求證：≤；
(2)求＋＋的最小值．
(1)證明：＝.
∵＋＋＝(＋＋)(a＋b＋c)≥(1＋1＋1)2＝9
∴≤.所以≤.
(2)解：由柯西不等式，得
[＋＋][(2b＋c)＋(2c＋a)＋(2a＋b)]≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]2
將a＋b＋c＝1代入得
＋＋≥.
當且僅當a＝b＝c＝時，＋＋有最小值.
5、5．(2023年浙江第二次五校聯考)已知a，b，c∈r＋，a＋b＋c＝1.
(1)求(a＋1)2＋4b2＋9c2的最小值；
(2)求證：＋＋≥.
(1)解：因為a，b，c∈r＋，a＋b＋c＝1所以
(1＋＋)[(a＋1)2＋4b2＋9c2]≥[(a＋1)＋·2b＋·3c]2＝4，
得(a＋1)2＋4b2＋9c2≥.
當且僅當a＋1＝4b＝9c，
即a＝，b＝，c＝時，(a＋1)2＋4b2＋9c2有最小值.
(2)證明：因為(a＋b＋c)(12＋12＋12)≥(＋＋)2，
所以＋＋≤，
當且僅當a＝b＝c＝時取等號．
又9，於是＋＋≥≥.
6、 (1)設a，b，c為正數且a＋b＋c＝1，求證：(a＋)2＋(b＋)2＋(c＋)2≥.
(2)已知實數a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，試求a的最值
(1)證明： (12＋12＋12)[(a＋)2＋(b＋)2＋(c＋)2]
≥ [1×(a＋)＋1×(b＋)＋1×(c＋)]2
＝ [1＋(＋＋)]2
＝ [1＋(a＋b＋c)( ＋＋)]2
≥ (1＋9)2＝.
(2)解：由柯西不等式得，
有(2b2＋3c2＋6d2)( ＋＋)≥(b＋c＋d)2
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2
由條件可得，5－a2≥(3－a)2
解得，1≤a≤2當且僅當＝＝時等號成立，
代入b＝，c＝，d＝時，amax＝2；
b＝1，c＝，d＝時，amin＝1
柯西不等式及證明
一.二維形式 等號成立條件 當且僅當 即 時，取 擴充套件 等號成立條件 當且僅當，時取等號。二 其他形式 向量形式 證明 推廣 三角形式 等號成立條件 當且僅當 即 時，取 擴充套件形式 等號成立條件 或 中有乙個為零。上述不等式等同於概述圖中的不等式。推廣形式 此推廣形式又稱卡爾松不等式，其表述...
用柯西不等式的變式證明不等式
電子郵箱 聯絡 158 來稿日期 2012 10 15 苗勇 江蘇省睢寧縣古邳中學 221241 本文的例1至例4分別是文 1 的例1至例4，文 1 對這類輪換對稱不等式的證明的方法是先猜想不等式等號成立的條件是，然後利用基本不等式進行構造證明，方法巧妙，但操作較為麻煩，筆者發現這類不等式用柯西不等...
柯西不等式的證明及變形
柯西 cauchy 不等式 等號當且僅當或時成立 k為常數，現將它的證明介紹如下 證明1 構造二次函式 恆成立 即當且僅當即時等號成立 證明 2 數學歸納法 1 當時左式 右式 顯然左式 右式 當時，右式右式 僅當即即時等號成立 故時不等式成立 2 假設時，不等式成立 即當，k為常數，或時等號成立設...