遞推數列通項公式的解題方法
一．求遞推數列的常用方法和技巧
特殊方法：
1.公式法
2.累差法
3.累乘法
4.迭代法
5.倒數代換法
6.對數代換法
7.待定係數法
8待定函式法
8.特徵方程法（含不動點法）
9.解方程組法
10.數學歸納法
11.換元法(含三角代換)
12．分解因式法 (大神級方法)
13.函式迭代法
二．高考數學遞推數列的常見型別
型別1.型的
型別2.遞推公式為
型別3.遞推公式為
型別4.遞推公式為（其中p，q均為常數，）。
型別5. 遞推公式為
型別6遞推公式為
型別7.遞推公式為
型別8. 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
型別9.遞推公式為型（特別的情形是：）
型別10.型
型別11. 雙數列型
遞推公式為確定,.
型別12. 遞推公式為
型別13.其他型別
型別14..迴圈數列
型別1.型的
這種型別一般利用與消去或與消去進行求解。
例題1． 已知數列的前n項和sn滿足
(ⅰ)寫出數列的前3項
(ⅱ)求數列的通項公式;
分析由得
由得，，得
由得，，得
用代得①—⑤：即
解法二解法三
，比較係數得到
，就是等比數列了，而且公比是2，輕易算得：
型別2.遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例題2:已知數列滿足，，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以，型別3.遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例題3:已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又， 型別4.遞推公式為（其中p，q均為常數，）。
解法（待定係數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例題4:已知數列中，，，求.
解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.
解法二：
， ，比較係數得
解法三：
， 型別5. 遞推公式為
解法：方法一：變形轉化為型別2求解；
方法二：待定係數法解法：只需構造數列，消去帶來的差異。
例題5．設數列：，求數列的通項公式。
解：設，將代入遞推式，得
…（１）則,又，故代入（１）得
說明：（1）若為的二次式，則可設;
(2)本題也可由,（）
兩式相減得轉化為求之.
型別6遞推公式為
解法：新增輔助數列，得
，令，轉化為型別2
例題6.已知數列滿足且，求
解：令，記
則，再用型別2的方法求出
型別7.遞推公式為
解法：這種型別一般是等式兩邊取對數後轉化為，再利用待定係數法求解。
例題7：已知數列｛｝中， ，求數列
解：由兩邊取對數得，
令，則，再利用待定係數法解得：
型別8. 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解法：先把原遞推公式轉化為
其中s，t滿足，再應用前面型別3的方法求解。
例題8. 已知數列中，,,，求
解法一（待定係數法）：由可轉化為
即或這裡不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用型別2的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即
又，所以。
解法2： 的特徵方程為，特徵根為，
由於,,解得所以。
型別9.遞推公式為型（特別的情形是：）
解法：可作特徵方程,當特徵方程有且僅有一根時,則是等差數列;當特徵方程有兩個相異的根、時，則是等比數列。說明：形如:遞推式，考慮函式倒數關係有
令則可歸為型。(取倒數法)
在這裡補充兩種特殊形式：
（i）型合分比定理
，用下合分比定理：
（ii）型倒數法：
例題9.數列求數列的通項公式.
解：由已知，得，其特徵方程為，解之，得
，[**:學科網zxxk]
，型別10.型
解法;特徵方程為求出特徵根.則可變為
再用對數變換法或迭代法求解。
例題10. 已知數列中，，求
解：的特徵方程為，特徵根為
，利用對數代換法易求得，即
型別11. 雙數列型
遞推公式為確定,.
解法：待定係數法轉化為等比數列，或轉化為型別8而求解
例題11.若數列滿足
解： 另=0解得，故，
用型別5的方法易求得
型別12. 遞推公式為
解法：遞推式可以變形為再用對數代換法求解。
例題12. 已知數列中，，求
解：變形為由對數代換法易求得
型別13.其他型別
用換元法，數學歸納法，構造法，等方法求遞推數列通項公式（關鍵在於仔細辨析遞推關係式的特徵，通過適當的策略將問題化歸為等差數列或等比數列問題加以解決，亦可採用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導出一般情形，進而用數學歸納法加以證明。）
例題13.設,,求通項公式
解:易知，構建新數列，使,
,又, ,從而,
∴新數列是以為首項，為公比的等比數列.
∴∴例題14. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由及，得
由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。
（1）當n=1時，，所以等式成立。
（2）假設當n=k時等式成立，即，則當時，
由此可知，當n=k+1時等式也成立。
根據（1）（2）可知，等式對任何
例題15. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，則
故，代入得
即因為，故
則，即，
可化為，
所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則+3，即，得。
高中數學解題方法談遞推數列求通項
由遞推數列求通項 數列是高中數學的重要內容，是歷年高考考查的重點.特別是近年高考中，遞推數列問題頻頻出現，成為高考命題中新的熱點.下面介紹幾種由遞推數列求通項的常用方法，供同學們參考.一 累加法 例 高考廣東卷試題 設平面內有n條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點 若用表示這...
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一 高中數列知識點總結 2 1.等差數列的定義與性質 2 2.等比數列的定義與性質 3 二解題方法 4 1 求數列通項公式的常用方法 4 1 求差 商 法 4 2 疊乘法 4 3 等差型遞推公式 4 4 等比型遞推公式 5 5 倒數法 5 2 求數列前n項和的常用方法 6 1 裂項法 6 2 錯位相...
求數列通項方法
求數列的通項公式 本節重點 求通項方法 疊加 乘 法 迭代法 特徵根法 構造新數列.典例練講 1.疊加法 疊乘法 形如，通項求法為.形如，通項求法為.2.退位相減法 形如的數列 3.特徵根法 形如是常數 的數列 例1.已知數列滿足，求數列的通項 變式 已知數列滿足，求數列的通項 形如的數列 例2.已...