安徽宿州二中，柏長勝
在解答平面解析幾何中的某些問題時，如果能適時運用點差法，可以達到「設而不求」的目的，同時，還可以降低解題的運算量，優化解題過程. 這類問題通常與直線斜率和弦的中點有關或借助曲線方程中變數的取值範圍求出其他變數的範圍。下面從四個方面舉例說明.
一、求直線方程或求點的軌跡方程
例1 拋物線x2=3y上的兩點a、b的橫座標恰是關於x的方程x2+px+q=0，(常數p、q∈r)的兩個實根，求直線ab的方程.
解：設a(x1,y1)、b(x2,y2)，則x12=3y1 ①；x12 +px1+q=0 ②；
由①、②兩式相減，整理得px1+3y1+q=0 ③；
同理 px2 +3y2+q=0 ④.
∵③、④分別表示經過點a(x1,y1)、b(x2,y2)的直線，因為不共線的兩點確定一條直線.
∴px+3y+q=0，即為所求的直線ab的方程.
例2 過橢圓x2＋4y2=16內一點p(1，1)作一直線l，使直線l被橢圓截得的線段恰好被點p平分，求直線l的方程.
解：設弦的兩端點為p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，則x12＋4y12=16，x22＋4y22=16，
兩式相減，得(x1﹣x2)(x1＋x2)＋4(y1﹣y2)(y1+y2)=0，因為x1＋x2=2，y1+y2=2，kl =.
∴kl =﹣.故直線l的方程為y﹣1=﹣(x﹣1)，即x+4y﹣5=0.
例3 已知橢圓x2+2y2=2及橢圓外一點(0，2)，過這點任意引直線與橢圓交於點a、b，求ab中點p的軌跡方程.
解：設a、b的座標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，ab中點p的座標為(x,y)，則
x12+2y12=2，x22+2y22=2，兩式相減，得(x1﹣x2)(x1＋x2)+2(y1﹣y2)(y1+y2)=0，
∵kab==，且x1＋x2=2x，y1+y2=2y，∴ =﹣，即x2+2y2﹣4y=0(橢圓內部分).
二、求引數的取值範圍。解決這類問題有兩種思路：1，先求出直線斜率的變化範圍進而求出引數的取值範圍；2 借助曲線方程中變數的取值範圍求出引數的取值範圍
例4 已知平面上一定點c（-1，0）和一定直線l: x = -4, p為該平面上一動點，作pql於q，（ + 2）·（- 2）=0，求（1）點p在什麼曲線上？並求出該曲線方程；（2）點o為座標原點，相異的兩點a，b在點p的軌跡上，若，求的取值範圍。
解：（1）由（+2）·（- 2）=0，得。
設p點座標為p（x, y）則有=( -4 – x , 0 ), =( -1 – x , -y )
即p點的軌跡在橢圓上。
（2）介紹點差法。設a(x1,y1)、b(x2,y2)，由，得
∴(x1+x2 ，y1+ y2)=（-1-，0）x1 =-1-- x2 ；y1=- y2
①；又②。由①、②兩式相減，整理得
即的取值範圍為[，3]
例5 求k的取值範圍，使拋物線c：y2+2y﹣kx=0(k≠0)上存在關於直線l：y=x﹣1對稱的兩點.
解：設拋物線c上關於直線l對稱的兩點為p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，則
y12+2y1﹣kx1=0 ①，y22+2y2﹣kx2=0 ②，
由兩式相減，得 (y1﹣y2)(y1+y2)+2(y1﹣y2)﹣k(x1﹣x2)=0，∴ =，
又∵p1p2的斜率為=﹣1，∴ =﹣1，即y1+y2=﹣k﹣2,∴p1p2的中點的縱座標為
y=﹣,
代入直線l：y=x﹣1，得中點橫座標為為x=﹣.又由於p1p2的中點在拋物線c內，
∴(﹣)2+2(﹣)﹣k(﹣)<0，解得 ﹣< k< (k≠0).
∴k的取值範圍是﹣三、解答定值問題
例6 在雙曲線﹣=1的一支上不同三點，a、b(,6)、c與焦點f(0，5)的距離成等差數列，求證：線段ac的垂直平分線l經過一定點.
證明：設a(x1,y1)、c(x2,y2)，ac的中點m(x0,y0)，∵a、b、c與焦點f(0，5)的距離成等差數列，由焦半徑公式，得 (ey1﹣a)+(ey2﹣a)=2(e×6﹣a)，解得 y1+y2=12,∴y0==6.
又13y12﹣12x12=156，13y22﹣12x22=156， 13(y1﹣y2)(y1+y2)﹣12(x1﹣x2)(x1＋x2)=0，
∴kac====x0,則ab垂直平分線l的斜率為k=﹣,
∴l的方程為：y﹣6=﹣(x﹣x0)，即y=﹣x+.故直線l必過定點(0，).
四、解證其它綜合題
例8 給定雙曲線x2﹣=1，過點b(1，1)能否作直線m，使m與所給的雙曲線相交於q1、q2兩點，且b是線段q1q2的中點，這樣的直線如果存在，求出它的方程，如果不存在，說明理由.
解：設q1 (x1,y1)、q2(x2,y2)，則2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，
兩式相減，得2(x1﹣x2)(x1＋x2)﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，
∵x1＋x2=2，y1+y2=2，∴4(x1﹣x2)﹣2(y1﹣y2)=0.
由於x1≠x2，∴kq1q2==2，這時，直線的方程為y﹣1=2(x﹣1),即y=2x﹣1，將y=2x﹣1，代入雙曲線方程得一元二次方程2x2﹣4x+3=0，此方程無實根，故滿足題設的直線不存在.
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