相似形的應用
一選擇題
1. (2011深圳市全真中考模擬一)小華同學自製了乙個簡易的幻燈機,其工作情況如圖所示,幻燈片與螢幕平行,光源到幻燈片的距離是30cm幻燈片到螢幕的距離是1.5m,幻燈片上小樹的高度是10cm,則螢幕上小樹的高度是
(a)50cm.
(b)500cm.
(c)60 cm.
(d)600cm.
答案: c第1題)
2. (2011湖北武漢調考模擬二)如圖2,在正方形abcd中,ab=4,點o在ab上,且ob=1,點p是bc上一動點,連線op,將線段op繞點d逆時針旋轉90°得到線段oq.要使點q恰好落在ad上,則bp的長
是( )
a.1 b.2 c.3 d.4
(第2題)
答案:c
二填空題
1. (2011深圳市全真中考模擬一)如圖,rt△abc中,a=90,ab=4,ac=3,d在bc上運動(不與b、c重合),過d點分別向ab、ac作垂線,垂足分別為e、f,則矩形aedf的面積的最大值為
(第1題)
答案:3
2.(安徽蕪湖2011模擬)如圖,小明在a時測得某樹的影長為2m,b時又測得該樹的影長為8m,若兩次日照的光線互相垂直,則樹的高度為_____m.
答案: 4
3.(2011湖北省崇陽縣城關中學模擬) 如圖是小明設計用手電來測量某古城牆高度的示意圖,點p處放一水平的平面鏡,光線從點a出發經平面鏡反射後剛好射到古城牆cd的頂端c處,已知ab⊥bd,cd⊥bd,且測得ab=1.2公尺,bp=1.
8公尺,pd=12公尺, 那麼該古城牆的高度是 ▲ 公尺. 答案:8
4. (2023年浙江省杭州市模2)如圖是小明設計用手電來測量某古城牆高度的示意圖,點p處放一水平的平面鏡,光線從點a出發經平面鏡反射後剛好射到古城牆cd的頂端c處,已知ab⊥bd,cd⊥bd,且測得ab=1.2公尺,bp=1.
8公尺,pd=12公尺, 那麼該古城牆的高度是公尺.
答案:8
三解答題
1. 如圖,在等腰中,,,點從點開始沿邊以每秒1 的速度向點運動,點從點開始沿邊以每秒2 的速度向點運動,保持垂直平分,且交於點,交於點.點分別從兩點同時出發,當點運動到點時,點、停止運動,設它們運動的時間為.
(1)當= 秒時,射線經過點;
(2)當點運動時,設四邊形的面積為,求與的函式關係式(不用寫出自變數取值範圍);
(3)當點運動時,是否存在以為頂點的三角形與△相似?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
答案:26.解:(13分
(當經過點時,∵⊥, ∴
, 即得
∴當時,當經過點)
(2)分別過點、作,⊥垂足為、.
cm,cm, ∴(cm)
即 ……………6分
又 ∴==
∴=-即
(3)存在
理由如下:
∵⊥ ∴⊥時△∽△
此時,△∽△
∴ 即2.(2011浙江省杭州市10模)(本題10分)如圖①,四邊形abcd是正方形, 點g是bc上任意一點,de⊥ag於點e,bf⊥ag於點f.
(1) 求證:de-bf = ef.
(2) 當點g為bc邊中點時, 試**線段ef與gf之間的數量關係,
並說明理由.
(3) 若點g為cb延長線上一點,其餘條件不變.
請你在圖②中畫出圖形,寫出此時de、bf、ef之間的數量關係(不需要證明).
(1) 證明:
∵ 四邊形abcd 是正方形, bf⊥ag , de⊥ag
∴ da=ab, ∠baf + ∠dae = ∠dae + ∠ade = 90°∴ ∠baf = ∠ade
∴ △abf ≌ △daebf = ae , af = de
∴ de-bf = af-ae = ef
(2)ef = 2fg 理由如下:∵ ab⊥bc , bf⊥ag , ab =2 bg
∴ △afb ∽△bfg ∽△abg
∴ ………6分∴ af = 2bf , bf = 2 fg
由(1)知, ae = bf,∴ ef = bf = 2 fg
(3) 如圖9分de + bf = ef
3.(2023年杭州市西湖區模擬)(本題6分)如圖,是正方形網格中的格點三角形(頂點在格上),請在正方形網格上按下列要求畫乙個格點三角形與相似,並填空:
(1)在圖甲中畫,使得的周長是的周長的倍,則= ;
(2)在圖乙中畫,使得的面積是的面積的倍,則= ;
答案:(本題6分)
(1); (2
(每個填空題正確得1分,每個圖形畫正確得2分)
4. (2011深圳市中考模擬五)如圖,在一塊如圖所示的三角形餘料上裁剪切乙個正方形,如果△abc為直角三角形,且∠acb=90°,ac=4,bc=3,正方形的四個頂點d、e、f、g分別在三角形的三條邊上.
求正方形的邊長.
答案:解:作ch⊥ab於h,
∵四邊形defg為正方形,∴cm⊥gf
由勾股定理可得ab=5
根據三角形的面積不變性可求得ch=…………………2分
設gd=x
∵gf ∥ab
∴∠cgf=∠a ,∠cfg=∠b
∴△abc∽△gfc
∴ 即 …………………6分
整理得:12-5x =x
解得:x=…………………9分
答:正方形的邊長為…………………10分
5. (2011深圳市中考模擬五)已知:如圖所示的一張矩形紙片(),將紙片摺疊一次,使點與重合,再展開,摺痕交邊於,交邊於,分別鏈結和.
(1)求證:四邊形是菱形;
(2)若,的面積為,求的周長;
(3)**段上是否存在一點,使得2ae=ac·ap?
若存在,請說明點的位置,並予以證明;若不存在,請說明理由.
答案: (1)證明:由題意可知oa=oc,ef⊥ao
∵ad∥bc
∴∠aeo=∠cfo,∠eao=∠fco
∴△aoe≌△cof
∵ae=ce,又ae∥cf
∴四邊形aecf是平行四邊形 ∵ac⊥ef ∴四邊形aefc是菱形
(2)∵四邊形aecf是菱形 ∴af=ae=10…………………4分
設ab=a,bf=b,∵△abf的面積為24
a+b=100,ab=48
(a+b)=196 a+b=14或a+b=-14(不合題意,捨去)
△abf的周長為a+b+10=24…………………8分
(3)存在,過點e作ad的垂線,交ac於點p,點p就是符合條件的點
證明:∵∠aep=∠aoe=90°,∠eao=∠eap
∴△aoe∽△aepae=ao·ap
∵四邊形aecf是菱形,∴ao=ac
∴ae=ac·ap
∴2ae=ac·ap…………………12分
6. (2011湖北武漢調考模擬二) 在等邊△abc中,d、e分別在ac、bc上,且ad=ce=nac,連ae、bd相交於p,過b作bq⊥ae於點q,連cp.
(1)∠bpq
(2)若bp⊥cp,求;
(3)當n=_____時,bp⊥cp
第6題)
答案:(1)60°,;
(2)解:在bp上取bk=ap.連ak,
∵△ace≌△bad,∴ ∠cae=∠abd,
∴bk=ap,ab=ca ,∴△ acp≌△bak,
∴∠bak=∠acp,∴ ∠akp=∠cpe=300.
又∠apb=1200.
∴∠akp=∠kap=300,
∴ap=pk,∴= ⑶
7、路邊有一根電線桿ab和一塊正方形廣告牌.
有一天,小明突然發現,在太陽光照射下,電線桿頂
端a的影子剛好落在正方形廣告牌的上邊中點g處,
而正方形廣告牌的影子剛好落在地面上e點(如圖),
已知bc=5公尺,正方形邊長為3公尺,de=4公尺.
(1)求電線桿落在廣告牌上的影長;
(2)求電線桿的高度(精確到0.1公尺).
解:(1)電線桿落在廣告牌上的影長為3+1.5=4.5(公尺)…………(2分)
(2)作gh⊥ab於h,依題意得:hg=bc+0.5cd=5+1.5=6.5…………(3分)
因為:,df=3,de=4. …………(4分)
所以:ah==4.875…………(5分)
所以:電線桿的高度為:
ab=ah+bh=ah+df=3+4.875=7.875≈7.9.…………(6分)
答:(1)廣告牌上的影長為4.5公尺;(2)電線桿的高度為7.9公尺。…………(7分)
8.(2011深圳市三模)如圖,小麗在觀察某建築物ab.
(1)請你根據小亮在陽光下的投影,畫出建築物在陽光下的投影.
(2)已知小麗的身高為1.65m,在同一時刻測得小麗和建築物ab的投影長分別為1.2m和8m,求建築物ab的高.
解(1)如圖.(2)如圖,因為de,af都垂直於地面,且光線df∥ac,所以rt△def∽rt△abc.所以.所以.所以ab=11(m).即建築物ab的高為.
9、(趙州二中九年七班模擬)已知正方形紙片abcd的邊長為2.
操作:如圖1,將正方形紙片摺疊,使頂點a落在邊cd上的點p處(點p與c、d不重合),摺痕為ef,摺疊後ab邊落在pq的位置,pq與bc交於點g.
**:(1)觀察操作結果,找到乙個與△dep相似的三角形,並證明你的結論;
(2)當點p位於cd中點時,你找到的三角形與△dep周長的比是多少?
答案:解:(1)與相似的三角形是.
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