向心加速度公式的推導方法

關於向心加速度公式的推導方法（下面提供幾種有別於課本的推導方法，供大家參考）

1、向量合成法

如圖1所示，物體自半徑為r的圓周a勻速率運動至b，所經時間為△t，若物體在a、b點的速率為va=vb=v，則其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va），由平行四邊形法則作出其向量圖如圖1。由餘弦定理可得

可見當θ→0時，α=90°，即△v的方向和vb垂直，由於vb方向為圓周切線方向，故△v的方向指向圓心.因△v的方向即為加速度的方向，可見勻速圓周運動中加速度的方向指向圓心，

.2 .運動合成法

眾所周知，物體作圓周運動的條件一是受到乙個指向圓心的向心力的作用.另一是有乙個初速度.可以設想，若沒有初速度則物體將向著圓心方向作勻加速運動.

若沒有向心力，則物體將沿初速度方向作勻速運動.可見圓周運動應當是沿圓心方向的勻加速直線運動和沿初速度方向的勻速運動的合運動.如圖2所示，物體自a至b的運動，可看成先由a以速度v勻速運動至c，再由c以加速度α勻加速運動至b，由圖可知

當△t→o時ac方向的運動可以忽略.故物體只有指向圓心方向的加速度α

3、.位移合成法

如圖3所示，設物體自a點經△t沿圓周運動至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的向量和.由以上分析可知，其法向運動為勻加速

由圖知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，

4、模擬法

設有一位置向量r繞o點旋轉，其矢端由a至b時發生的位移為△s（如圖4）.若所經時間為△t，則在此段時間內的平均速率顯然這個速率描述的是位置向量矢端的運動速率，當△t趨近於零時，這個平均速率就表示位置向量的矢端在某一時刻的即時速率，如果旋轉是勻角速的，則其矢端的運動也是勻速率的，易知其速率

（1）式中t為旋轉週期.再如圖5是一物體由a至b過程中，每轉過1/8圓周，速度變化的情況。現將其速度平移至圖6中，容易看出圖6和圖5相類似，所不同的是圖5表示的是位置向量的旋轉.

，而圖6則是速度向量的旋轉，顯然加速度是速度的變化率，即

由圖6可知，這個速度變化率其實就是端的旋轉速率，其旋轉半徑就是速率v的大小，故有

比較圖5圖6可以看出當△t→o時△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.