專題三不等式及線性規劃問題
1．若a，b∈r，且ab＞0，則下列不等式恆成立的是
a．a2＋b2＞2abb．a＋b≥2
cd.＋≥2
答案：d [對於a：當a＝b＝1時滿足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以a錯；對於b、c：
當a＝b＝－1時滿足ab＞0，但a＋b＜0，＋＜0，而2＞0，＞0，顯然b、c不對；對於d：當ab＞0時，由基本不等式可得＋≥2＝2.]
2．若x∈[0，＋∞)，則下列不等式恆成立的是( )．
a．ex≤1＋x＋x2b.≤1－x＋x2
c．cos x≥1－x2d．ln(1＋x)≥x－x2
答案：c [正確命題要證明，錯誤命題只需舉乙個反例即可．如a，因為e3＞1＋3＋32，故a不恆成立；同理，當x＝時，＞1－x＋x2，故b不恆成立；因為′＝－sin x＋x≥0(x∈[0，＋∞))，且x＝0時，y＝cos x＋x2－1＝0，所以y＝cos x＋x2－1≥0恆成立，所以c對；當x＝4時，ln(1＋x)＜x－x2，故d不恆成立．]
3．設變數x，y滿足約束條件則目標函式z＝3x－y的取值範圍是( )．
ab.c．[－1,6d.
答案：a [
作出不等式組所表示的區域如圖，由z＝3x－y得，y＝3x－z，平移直線y＝3x，由圖象可知當直線經過點e(2，0)時，直線y＝3x－z的截距最小，此時z最大為z＝3×2－0＝6，當直線經過c點時，直線y＝3x－z的截距最大，此時z最小，由解得此時z＝3x－y＝－3＝－，所以z＝3x－y的取值範圍是.]
4．若x，y滿足約束條件則x－y的取值範圍是________．
解析 記z＝x－y，則y＝x－z，所以z為直線y＝x－z在y軸上的截距的相反數，畫出不等式組表示的可行域如圖中△abc區域所示．結合圖形可知，當直線經過點b(1,1)時，x－y取得最大值0，當直線經過點c(0,3)時，x－y取得最小值－3.
答案 [－3,0]
本部分內容高考主要考查以下幾方面：
(1)考查利用基本不等式求最值、證明不等式等，利用基本不等式解決實際問題．
(2)考查以線性目標函式的最值為重點，目標函式的求解常結合其代數式的幾何意義(如斜率、截距、距離、面積等)來求解．[**:學科網]
(3)一元二次不等式經常與函式、導數、數列、解析幾何相結合考查引數的取值範圍，以考查一元二次不等式的解法為主，並兼顧二次方程的判別式、根的存在等．
不等式部分重點掌握一元二次不等式的解法，特別是含有字母引數的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式組所表示的平面區域，包括平面區域的形狀判斷、面積以及與平面區域有關的最值問題，簡單的線性規劃模型在解決實際問題中的應用．對不等式的深入複習要結合數列、解析幾何、導數進行.
必備知識
一元二次不等式
(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解結合二次函式的圖象得來，不要死記硬背，二次函式的圖象是聯絡「二次型」的紐帶．
(2)對含引數的不等式，難點在於對引數的恰當分類，關鍵是找到對引數進行討論的原因，確定好分類標準(如最高次係數、判別式、根相等)，層次清楚地求解．
(3)與一元二次不等式有關的恆成立問題，通常轉化為根的分布問題，求解時一定要借助二次函式的圖象，一般考慮四個方面：開口方向、判別式的符號、對稱軸的位置、區間端點函式值的符號．
基本不等式
(1)基本不等式a2＋b2≥2ab取等號的條件是當且僅當a＝b；當且僅當x＝y時，≥(x＞0，y＞0)取等號．
(2)幾個重要的不等式：①ab≤2(a，b∈r)；
②≥≥≥(a＞0，b＞0)；
③a＋≥2(a＞0，當a＝1時等號成立)；
2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈r，當a＝b時等號成立)；
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(3)最值問題：設x，y都為正數，則有
①若x＋y＝s(和為定值)，則x＝y時，積xy取得最大值；
②若xy＝p(積為定值)，則當x＝y時，和x＋y取得最小值2.
比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設的結構特點、內在聯絡，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，並掌握相應的步驟、技巧和語言特點．
解決線性規劃問題的一般步驟
(1)確定線性約束條件；
(2)確定線性目標函式；
(3)畫出可行域；
(4)利用線性目標函式(直線)求出最優解；
(5)據實際問題的需要，適當調整最優解(如整數解等)．
必備方法
1．解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函式間的關係．
2．使用基本不等式以及與之相關的不等式求一元函式或者二元函式最值時，基本的技巧是創造使用這些不等式的條件，如各變數都是正數，某些變數之積或者之和為常數等，解題中要根據這個原則對求解目標進行適當的變換，使之達到能夠使用這些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函式的最值、特別是求二元函式最值時一定要注意等號成立的條件，盡量避免二次使用基本不等式．
3．平面區域的確定方法是「直線定界、特殊點定域」，二元一次不等式組所表示的平面區域是各個不等式所表示的半平面的交集．線性目標函式z＝ax＋by中的z不是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，把目標函式化為y＝－x＋可知是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，要根據b的符號確定目標函式在什麼情況下取得最大值、什麼情況下取得最小值.
常考查：①直接利用基本不等式求最值；②先利用配湊法等進行恒等變形，再利用基本不等式求最值．近幾年高考試題常考查實際應用題中基本不等式的應用，應引起我們的重視
【例1】 (2010·重慶)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是( )．
a．3 b．4 c. d.
[審題視點]
[聽課記錄]
[審題視點] 將已知式改寫成y關於x的表示式，再代入x＋2y消元，整理成應用基本不等式的形式求最值．
b [∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝＞0，∴－1＜x＜8，
∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4，此時x＝2，y＝1，故選b.]
當函式或代數式具有「和是定值」、「積是定值」的結構特點時，常利用基本不等式求其最大、最小值．在具體題目中，一般很少考查基本不等式的直接應用，而是需要對式子進行變形，尋求其中的內在關係，然後利用基本不等式得出結果．
【突破訓練1】 已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝1.則＋的最小值為________．
解析 ＋＝＋＝3＋
≥3＋2＝3＋2.
即＋的最小值為3＋2.
答案 3＋2
線性規劃問題常考查有三種題型：一是求最值；二是求區域面積；三是知最優解情況或可行域情況確定引數的值或取值範圍．同時，這也是高考的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查
【例2】設x，y滿足約束條件若目標函式z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為12，則＋的最小值為( )．
a. b. c. d．4
[審題視點]
[聽課記錄]
[審題視點] 先由已知結合線性規劃知識可以求得a，b的關係式，再由基本不等式求解．
a [不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分．
當直線ax＋by＝z(a＞0，b＞0)過直線x－y＋2＝0與直線3x－y－6＝0的交點(4,6)時，目標函式z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6.[**:z。
xx。所以＋＝·＝＋≥＋2＝.]
線性規劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想．
需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函式所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯，比如上題中目標函式所對應直線的斜率－＜0；三，一般情況下，目標函式的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得．
【突破訓練2】某農戶計畫種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表
為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那麼黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為
a．50,0 b．30,20 c．20,30 d．0,50
答案：b [設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標函式為z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.
線性約束條件為
即畫出可行域，如圖所示．
作出直線l0：x＋0.9y＝0，向上平移至過點b時，z取得最大值，由求得b(30，20)．]
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