第一章：引言
本文主要是討論用不動點的方法來解決數列通項問題。當我們知道了數列的遞推公式，然後最關心的就是如何求出數列的通項公式。這個也是競賽，高考中最常見的問題。
本文特別關注用分式函式，「耐克」函式，多項式函式作為非線性數列遞推關係的數列通項。不動點方法是大學動力系統的研究中的一種核心方法。本文就是通過結合不動點方法來解決已知某項遞推公式的通項公式。
主要參考了多項式和有理函式的例外點集的處理方法，給出了一種解決數列迭代通項的問題。同時指出，如果在競賽和高考命題中，如果利用耐克函式迭代形式只有當時，才能寫出通項。
第二章：主要結果
定義：對函式，若存在滿足，那麼稱為函式的不動點。
下面介紹不同幾類的數列的通項求法。
1．，設，將看做。計算可得不動點，構造。將代入的表示式中可得是乙個等比數列。由此可得：，故
2．，且。若可以通過上下同除乙個常數使得行列式為1。
設，計算不動點可得方程，對於方程。因此，對於不動點的結構而言，有三種不同情況。
情況一： 方程有兩個不同的實數根，記作。那麼構造，可得。這裡或者，到底取哪個值與的構造方法有關。由此可得，所以，所以
情況二：方程有兩個相同實數根，記作，此時。故那麼構造。 可得。所以。
，所以情況三：方程有兩個共軛虛根。 當共軛虛根時，數列往往顯示週期性。一般有如下規律。要麼有，要麼有。 這個問題還有待研究。
3．以下要給出一系列多項式和有理函式迭代的數列的公式。
例1．，，求的通項。
解：設，那麼可得。構造，可得。因此。所以，所以。
例2．，，求的通項。
解：作函式，求不動點可得，。顯然構造不改變原來遞推形式。嘗試或者發現可以求出，因此。故，即。
對於有理函式和多項式迭代什麼時候可以用不動點方式寫出通向公式。可以從以下定理中得出結論。
定義：設為有理函式，，，稱序列為在點的軌道，記作。
定義的大軌道。
乙個點稱為例外點，如果它的大軌道是有限點集，記例外集為。
定理1：至多由兩個點組成。
定理2:：若非空，當，則有理函式可以共軛形如。
所以，前面的有理函式迭代，其中不動點恰好是例外點。因為若函式則有，由此可知，只有在這個大軌道中。故可以通過設得到。
下面我們來說明，對於耐克函式迭代，可以通過移動不動點方法的情況這是唯一種。證明方法主要是通過計算例外點的方法來實現。
設，設，所以，，故。如果為例外點，只能有方程的解只能為代入方程可得，。由此可知，必須也是或者。故可知
，故。當，故。 由此可知如果利用耐克函式構造數列迭代，只有才能化解成。故我們得到命題。
命題： 對於，當且僅當時，的例外集為中有兩個點。
推論：對於，當且僅當時，才有滿足。
第三章：問題
本文只是考慮了較為簡單的耐克的函式類，分式函式類和多項式函式類的問題。對於更複雜的函式類該如何處理依舊是乙個問題。關鍵問題在於如何計算何種函式才有兩個例外點。
第四章： 感謝
首先感謝組委會給我乙個機會參與這個比賽，激發我的數學興趣，更要感謝丘先生舉辦如此乙個比賽讓我們充分發揮自主學習性。 同時也要感謝我的母校天山中學對我的教導。以及感謝我的指導老師楊靜樺博士的指導。
謝謝他推薦我看一些大學的書籍，以至於我會了解很多數列迭代的本質，對數學更加充滿了興趣。
參考書目
1． 任福堯等， 復動力解析系統， 2023年第一版
2． 歷年高考考卷
3． 歷年希望盃競賽試卷
求數列通項方法
求數列的通項公式 本節重點 求通項方法 疊加 乘 法 迭代法 特徵根法 構造新數列.典例練講 1.疊加法 疊乘法 形如，通項求法為.形如，通項求法為.2.退位相減法 形如的數列 3.特徵根法 形如是常數 的數列 例1.已知數列滿足，求數列的通項 變式 已知數列滿足，求數列的通項 形如的數列 例2.已...
求數列通項方法總結
1 公式法 根據等差數列 等比數列的定義求通項 例 1已知等差數列滿足 求 2.已知數列滿足，求數列的通項公式 3.數列滿足 8，求數列的通項公式 4.已知數列滿足，求數列的通項公式 5.設數列滿足且，求的通項公式 6.已知數列滿足，求數列的通項公式。7.等比數列的各項均為正數，且，求數列的通項公式...
求數列通項公式的方法
分析 則，兩式相除既得，從而求出 故。選c 二 需要理解的求數列通項公式的方法 構造法。需要理解就是能熟練地運用知識解決問題，對其理論思想清楚。例4 已知數列中，且。求的表示式。解析1 由得 等式兩邊同時除以得 數列是以首項為，公差為2的等差數列。解析2 由兩邊同時取倒數得 數列是以首項為，公差為2...