普通高中課程標準實驗教科書—數學 [人教版]
高三新數學第一輪複習教案（講座36）—空間向量及其應用
一．課標要求：
（1）空間向量及其運算
① 經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；
② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其座標表示；
③ 掌握空間向量的線性運算及其座標表示；
④ 掌握空間向量的數量積及其座標表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直。
（2）空間向量的應用
① 理解直線的方向向量與平面的法向量；
② 能用向量語言表述線線、線面、麵麵的垂直、平行關係；
③ 能用向量方法證明有關線、面位置關係的一些定理（包括三垂線定理）；
④ 能用向量方法解決線線、線面、麵麵的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。
二．命題走向
本講內容主要涉及空間向量的座標及運算、空間向量的應用。本講是立體幾何的核心內容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運算，結合主觀題借助空間向量求夾角和距離。
**07年高考對本講內容的考查將側重於向量的應用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關係找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在複習時應加大這方面的訓練力度。
三．要點精講
1．空間向量的概念
向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向線段表示，並且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。
說明：①由相等向量的概念可知，乙個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限於研究同一平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移。
2．向量運算和運算率
加法交換率：
加法結合率：
數乘分配率：
說明：①引導學生利用右圖驗證加法交換率，然後推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。
3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行於記作∥。
注意：當我們說、共線時，對應的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義。
共線向量定理：對空間任意兩個向量（≠）、，∥的充要條件是存在實數使＝
注：⑴上述定理包含兩個方面：①性質定理：
若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實數。②判斷定理：若存在唯一實數，使＝（≠0），則有∥（若用此結論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）。
⑵對於確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當》0時與同向，當<0時與反向的所有向量。
⑶若直線l∥，，p為l上任一點，o為空間任一點，下面根據上述定理來推導的表示式。
推論：如果l為經過已知點a且平行於已知非零向量的直線，那麼對任一點o，點p在直線l上的充要條件是存在實數t，滿足等式
其中向量叫做直線l的方向向量。
在l上取，則①式可化為
當時，點p是線段ab的中點，則 ③
①或②叫做空間直線的向量引數表示式，③是線段ab的中點公式。
注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎，也是常用的直線引數方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點共線問題。⑶結合三角形法則記憶方程。
4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內，我們就說向量平行於平面，記作∥。注意：向量∥與直線a∥的聯絡與區別。
共面向量：我們把平行於同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數對x、y，使①
注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質和判定兩個方面。
推論：空間一點p位於平面mab內的充要條件是存在有序實數對x、y，使
④或對空間任一定點o，有⑤
在平面mab內，點p對應的實數對（x, y）是唯一的。①式叫做平面mab的向量表示式。
又∵代入⑤，整理得
由於對於空間任意一點p，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點p就在平面mab內；對於平面mab內的任意一點p，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量、（或不共線三點m、a、b）確定的空間平面的向量引數方程，也是m、a、b、p四點共面的充要條件。
5．空間向量基本定理：如果三個向量、、不共面，那麼對空間任一向量，存在乙個唯一的有序實陣列x, y, z, 使
說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、、不共面，那麼所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、、生成的，所以我們把叫做空間的乙個基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的乙個基底；⑶乙個基底是指乙個向量組，乙個基向量是指基底中的某乙個向量，二者是相關聯的不同的概念；⑷由於可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。
推論：設o、a、b、c是不共面的四點，則對空間任一點p，都存在唯一的有序實陣列，使
6．數量積
（1）夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點o，作，，則角∠aob叫做向量與的夾角，記作
說明：⑴規定0≤≤,因而=；
⑵如果=，則稱與互相垂直，記作⊥；
⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（3）、（4）中的兩個向量的夾角不同，
圖（3）中∠aob=，
圖（4）中∠aob=,
從而有==.
（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。
（3）向量的數量積：叫做向量、的數量積，記作。
即=，向量:
（4）性質與運算率
⑵⊥=0
四．典例解析
題型1：空間向量的概念及性質
例1．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那麼的關係是不共線；②為空間四點，且向量不構成空間的乙個基底，那麼點一定共面；③已知向量是空間的乙個基底，則向量，也是空間的乙個基底。其中正確的命題是（ ）
解析：對於①「如果向量與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那麼的關係一定共線」；所以①錯誤。②③正確。
點評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區別與聯絡。
例2．下列命題正確的是（ ）
若與共線，與共線，則與共線；
向量共面就是它們所在的直線共面；
零向量沒有確定的方向；
若，則存在唯一的實數使得；
解析：a中向量為零向量時要注意，b中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，d中需保證不為零向量。
答案c。
點評：零向量是乙個特殊的向量，時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質，要兼顧。
題型2：空間向量的基本運算
例3．如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）
解析：顯然；
答案為a。
點評：模擬平面向量表達平面位置關係過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使複雜的線面空間關係代數化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.
考查學生的空間想象能力。
例4．已知：且不共面.若∥,求的值.
解： ∥,,且即
又不共面,
點評：空間向量在運算時，注意到如何實施空間向量共線定理。
題型3：空間向量的座標
例5．（1）已知兩個非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（ ）
存在非零實數k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，則x+y的值是（ ）
a. －3或1 b.3或－1 c. －3 d.1
（3）下列各組向量共面的是（ ）
a. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
b. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
c. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
d. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
解析：（1）d；點撥：由共線向量定線易知；
（2）a 點撥：由題知或；
（3）a 點撥：由共面向量基本定理可得。
點評：空間向量的座標運算除了數量積外就是考察共線、垂直時引數的取值情況。
例6．已知空間三點a（－2，0，2），b（－1，1，2），c（－3，0，4）。設=， =，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k－2互相垂直，求k的值.
思維入門指導：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應用，套用公式即可得到所要求的結果.
解：∵a(－2，0，2)，b（－1，1，2），c(－3，0，4)， =， =，
∴=(1，1，0)， =（－1，0，2）.
(1)cos==－，
∴和的夾角為－。
(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
則k=－或k=2。
點撥：第（2）問在解答時也可以按運算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。
題型4：數量積
例7．(2000江西、山西、天津理，4)設、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則
《不與垂直
④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有（ ）
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1 a b a b 成立的充要條件是 d a a b r b a b 0 c a b 0 d a b 0 或b 0 2 如圖，已知點分有向線段的比為 3，且 a，b，c，則以下等式成立的是a a c a bb c b 2a c c a 2bd c a b 3 已知 abc中，a，b，a b 0，s ...
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