平面向量的綜合應用專題研究
1.(2010·湖南卷改編)已知a,b是圓心為c半徑為的圓上兩點,且||=,則·等於( )
ab.c.0 d.
答案 a
解析本題考查向量的數量積的運算.由於弦長|ab|=與半徑相同,則∠acb=60cos∠acb=-··cos60°=-.
2.已知a,b是兩個非零向量,給定命題p:|a·b|=|a||b|,命題q:t∈r,使得a=tb,則p是q的( )
a.充分不必要條件 b.必要不充分條件
c.充要條件 d.既不充分也不必要條件
答案 c
解析 ∵|a·b|=|a||b||cosθ|=|a||b|,
∴θ=0°或180°,即a,b共線.
∴t∈r,使得a=tb成立.
∴p是q的充分條件.
若t∈r,使得a=tb,則a,b共線,
∴|a·b|=|a||b|.∴p是q的必要條件.
綜上可知,p是q的充要條件.
3.p是△abc所在平面上一點,若·=·=·,則p是△abc的( )
a.外心 b.內心
c.重心 d.垂心
答案 d
解析由·=·得·(-)=0.即·=0.∴⊥.同理 ⊥.即p為垂心.
4.在平行四邊形abcd中,=a,=b,則當(a+b)2=(a-b)2時,該平行四邊形為( )
a.菱形 b.矩形
c.正方形 d.以上都不正確
答案 b
解析數形結合,在平行四邊形中,
a+b=+=,
a-b=-=,由|a+b|=|a-b|,
∴||=||,對角線相等的平行四邊形為矩形,故選b.
5.若o是△abc所在平面內一點,且滿足|-|=|+-2|,則△abc的形狀是( )
a.等腰三角形 b.直角三角形
c.等腰直角三角形 d.等邊三角形
答案 b
解析 +-22=|-|2·=0,∴三角形為直角三角形,故選b.
6.在△abc中,·=3,△abc的面積s∈[,],則與夾角的取值範圍是( )
ab.[,]
cd.[,]
答案 b
解析設〈,〉=α,因為·=||·||·cosα=3||·||=,又s=||·||·sin(π-α)=··sin(π-α)=tanα,而≤s≤≤tanα≤≤tanα≤1≤α≤.故選b.
7.如圖所示,e、f、g、h分別是四邊形abcd的所在邊的中點,若(+)·(+)=0,則四邊形efgh是( )
a.平行四邊形,但不是矩形
b.矩形
c.菱形
d.正方形
答案 b
解析 ∵+=,+=,
且(+)·(+)=0,
∴·=0,即⊥.
又∵e、f、g、h為四邊形abcd四邊的中點,
∴∥∥,∥∥,
故四邊形efgh為平行四邊形且⊥,即為矩形.
8.已知座標原點為o,拋物線y2=2x與過焦點的直線交於a、b兩點,則·等於________.
答案 -
解析設a(,y1),b(,y2),
則=(,y1),=(,y2),
又由y1y2=-p2=-1.
∴·=(,y1)·(,y2)=yy+y1y2
=-1=-
9.已知向量m=(0,-1),n=(cosa,2cos2),其中a、b、c是△abc的內角,且a、b、c依次成等差數列,求|m+n|的取值範圍.
答案 [,)
解析 2b=a+c,b=,a+c=,∴0m+n=(cosa,2cos2-1)=(cosa,cosc),
|m+n|====
<2a+<,
∴-1≤cos(2a+)<,∴|m+n|∈[,).
10.(2012·煙台調研)已知向量m=(a+c,b),n=(a-c,b-a),且m·n=0,其中a,b,c是△abc的內角,a,b,c分別是角a,b,c的對邊.
(1)求角c的大小;
(2)求sin a+sin b的取值範圍.
解 (1)由m·n=0,
得(a+c)(a-c)+b(b-a)=0a2+b2-c2=ab.
由餘弦定理,得cosc===,
∵0(2)∵c=,∴a+b=.
∴sina+sinb=sina+sin(-a)
=sina+sincosa-cossina
=sina+cosa=(sina+cosa)
=sin(a+).
∵0∴∴11.平面上的兩個向量,滿足||=a,||=b,且⊥,a2+b2=4.向量=x+y (x,y∈r),且a2(x-)2+b2(y-)2=1.
(1)如果點m為線段ab的中點,求證:=(x-)+(y-);
(2)求||的最大值,並求此時四邊形oapb面積的最大值.
分析對第(1)問,可先求,再由條件即可得到結論;對第(2)問,先設點m為線段ab的中點,進而利用第(1)問的結論,並由條件確定p,o,a,b四點共圓,結論即可得到.
解析 (1)因為點m為線段ab的中點,所以=+.所以=-=(x+y)-(+)=(x-)+(y-).
(2)設點m為線段ab的中點,則由⊥,知1.
又由(1)及a2(x-)2+b2(y-)2=1,得
||2=|-|2=(x-)22+(y-)22=(x-)2a2+(y-)2b2=1.
所以1.
故p,o,a,b四點都在以m為圓心,1為半徑的圓上,所以當且僅當op為圓m的直徑時,||max=2.
這時四邊形oapb為矩形,則s四邊形oapb=||·||=ab≤=2,當且僅當a=b=時,四邊形oapb的面積最大,最大值為2.
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