餘數、同餘與週期
一、同餘的定義:
①若兩個整數a、b除以m的餘數相同,則稱a、b對於模m同餘。
②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對於模m同餘,記作a≡b(mod m),讀作a同余於b模m。
二、同餘的性質:
①自身性:a≡a(mod m);
②對稱性:若a≡b(mod m),則b≡a(mod m);
③傳遞性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡ c(mod m);
④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性:若a≡b(mod m),則an≡bn(mod m);
⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整數c,則a×c≡ b×c(mod m×c);
三、關於乘方的預備知識:
①若a=a×b,則ma=ma×b=(ma)b
②若b=c+d則mb=mc+d=mc×md
四、被3、9、11除后的餘數特徵:
①乙個自然數m,n表示m的各個數字上數字的和,則m≡n(mod 9)或(mod 3);
②乙個自然數m,x表示m的各個奇數字上數字的和,y表示m的各個偶數數字上數字的和,則m≡y-x或m≡11-(x-y)(mod 11);
五、費爾馬小定理:如果p是質數(素數),a是自然數,且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。
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