目錄第一章函式 2
第二章三角函式 28
第三章兩角和與差的三角函式 44
第四章反三角函式 50
第五章不等式(inequality) 51
第六章數列、極限、數學歸納法 57
第七章複數(complex number) 66
第八章排列、組合、二項式定理 72
第九章直線(line) 79
第十章圓錐曲線(conic) 86
第一章函式
函式是數學研究的物件，熟練掌握它的性質對我們研究經濟現象十分必要。本章在集合論基礎上展開分析。
§1.1 集合
1． 集合(set)
一般地，具有某種特點的一類物件的全體就稱為乙個集合。集合中的每個物件稱為這個集合的元素(element)。
下面是一些常用的數集及其記法。
自然數集 (the set of all non-negative integers)，記作n.
非負整數集內排除0的集，也稱正整數集(the set of all positive integers)，記作 n* 或n +全體整數的集合通常簡稱整數集(the set of all integers)，記作z；
全體有理數的集合通常簡稱有理數集(the set of all rational numbers)，記作q；
全體實數的集合通常簡稱實數集(the set of all real numbers)，記作r。
集合的元素常用小寫的拉丁字母表示，如果a 是集合a 的元素，就說a 屬於(belong to )集合a ，記作a ∈ a；如果a 不是集合a 的元素，就說a 不屬於(not belong to)集合a ，記作。
集合的表示方法，常用的有列舉法和描述法。
列舉法是把集合中的元素一一枚舉出來的方法。
例如。此集合含有元素10 個。一般地，含有有限個元素的集合叫做有限集(finite set)。
描述法是用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
例如，函式的定義域可以表示為。
集合的元素有無限個。一般地，含有無限多個元素地集合叫做無限集(infinite set)。
再看個例子，方程的所有實數解組成的集合，可以表示為
這個集合是沒有元素的。一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，記作。
2．子集、交集、並集、補集
i．子集
集合與集合之間，存在著「包含」與「相等」的關係。
先看集合與集合之間的「包含」關係。
設a = , b =, 集合a 是集合b 的一部分，我們就說集合b 包含集合a。
我們規定：空集是任何集合的子集。
集合a 與集合b 的元素是相同的，我們就說集合a等於集合b。是集合b 的元素，同時集合b的任何乙個元素都是集合a 的元素，我們就說集合a 等於集合b，記作a=b。
我們還常常涉及「真子集」的問題。
集合a 是集合b 的真子集(proper set)，記作ab （或ba）.
顯然，空集是任何非空集合的子集。
ii． 全集與補集
一般地，設s是乙個集合，a是s 的乙個子集，由s中所有不屬於a的元素組成的集合，叫做s中子集a的補集(complementary set) （ 或餘集），記作，。
例如，如果s=,a=,那麼=。
iii．交集、並集
一般地，由所有屬於集合a且屬於集合b 的元素所組成的集合，叫做a與b的交集(intersection)，記作a∩b（讀「a交b」），即a∩b=。
而由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a與b的並集(union)，
記作a∪b（讀「a並b」）,即a∪b=。
例1 設a=，b= ，求a∩b 。
解： a∩b =∩=，b= ，求a∩b。
解：a∩b = ∩ =。
例3a= ，b=，求a∪b 。
解： a∪b = ∪ =。
集合中的元素是沒有重複現象的，兩個集合的並集中，原兩個集合的公共元素只能出現一次，不可寫成a∪b =。
例4 設a=，b= ，求a∪b。
解：a∪b=∪=。
例5 a = , b = ,求a∪b 。
解： a∪b ＝ ∪ ＝。
形如2n(n∈z) 整數叫做偶數，形如2n +1(n∈z) 的整數叫做奇數。全體奇數的集合簡稱奇數集(the set of all odd numbers)，全體偶數的集合簡稱偶數集(the set of all even numbers)。
習題1.1
1. 下列各小題中，分別指出了乙個集合的所有元素，用適當的方法把這個集合表示出來，然後指出它是有限集還是無限集。
(1) 世界上最高的山峰；
(2) 由1，2，3 這三個數字抽出一部分或全部數字（沒有重複）組成的一切自然數；
(3) 平面內到乙個定點o的距離等於定長l(l >0)的所有的點p。
2. 寫出集合所有的子集，並指出其中那些是它的真子集。
3. (1) 解方程並把結果用集合表示出來;
(2) 解不等式3x +2<4x1，並把結果用集合表示出來。
4. (1) 設a=,b=,求a∩b ；
(2) 設a=，b=，求a∩b ；
(3) 設a=,b=,求a∪b ；
(4) 設a= ，b= ，求a∪b。
1.2函式
1． 函式
定義：設在乙個變化過程中有兩個變數x與y，如果對於x的每乙個值，y都有唯一的值與它對應，那麼就說y是x的函式(function)，x叫做自變數。
記作y= f(x)， x∈d。
其中，x叫做自變數(argument)，x的取值範圍d叫做函式的定義域(domain)；與x對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域(range)。
一次函式f(x) =ax+b(a≠0)的定義域是r。值域也是r。對於r中的任意乙個數x，在r中都有乙個數y=ax+b(a≠0)和它對應。
函式除用f (x)表示外，還常用g(x)，f(x)，g(x)等符號表示。而且研究函式常常用到區間(interval)的概念，如[a,b]，(a,b)，[a,b]，(a,ba,+∞]等。
例1 求下列函式的定義域：
（1）；
（2）。
分析：函式的定義域就是指能使這個式子有意義的實數x的集合。
解：（1）因為3x +2≥0，即時，根式才有意義，所以，這個函式的定義域是。
（2 使根式有意義的實數x的集合是，使分式
的實數x的集合是，所以，這個函式的定義域是[1,2]∪(2,+∞)。
例2已知函式求f (3) ，， f (a)，f(a+1)。
解： f (3) = 3×325×3+2 =14 ；=；；
習題1.2
1. 畫圖表示集合a到集合b的對應（集合a，b各取4個元素），
已知：（1） a =， b = ，對應關係是「乘2」；
（2）a=， b = r，對應關係是「求算術平方根」；
（3）a=， b = r，對應關係是「求倒數」；
（4） a =，b=，對應關係是「求余弦」。
2. 已知函式f(x)=3x+5， x ∈r，求f(3)， f(2)， f (0) ，
f (1) ， f (2) 以及函式的值域。
3. 選擇題：
下列四組中的函式f (x)，g(x)，表示同乙個函式的是（ ）
（a） f(x) =1, ；（b） f (x) =x1,；
（c），（d）
4. 畫出下列函式的圖象，並說出定義域、值域：
（1）正比例函式y = 3x ； （2）反比例函式
（3）一次函式y = 4x+5； （4）二次函式.
5. 求下列函式的定義域：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
1.3 函式的單調性(monotone)
為了研究函式的性質，按照列表、描點、連線等步驟分別畫函
數和的圖象。
函式的圖象如圖1-1，函式的圖象如圖1-2
圖1.1 圖1.2
現在研究函式的單調性。
從函式的圖象（圖1.1）出發看到：
圖象在y 軸的右側部分是上公升的，也就是說，當x在區間
[0, +∞) 上取值時，隨著x的增大，相應的y值也隨著增大，即如果取，得到那麼當時，有，這時我們就說函式在[0, +∞) 上是增函式。
圖象在y軸的左側部分是下降的，也就是說，當x在區間(∞,0)上取值時，隨著x的增大，相應的y值也隨著增大，即如果取，得到，那麼當時，有，這時我們就說函式在(∞,0)上是減函式。
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