考點55 不等式選講
一、選擇題
1.（2013·安徽高考理科·ｔ4）「a≤0」「是函式在區間內單調遞增」的 （ ）
a. 充分不必要條件 b.必要不充分條件
c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件
【解題指南】 畫出函式的簡圖，數形結合判斷。
【解析】選c.由函式在區間內單調遞增可得其圖象如圖所示，,由圖象可知選項c正確。
二、填空題
2. （2013·陝西高考理科·ｔ15）已知a, b, m, n均為正數, 且a＋b＝1, mn＝2, 則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為 .
【解題指南】利用柯西不等式求解.
【解析】,且僅當
時取最小值 2.
【答案】 2.
3. （2013·陝西高考文科·ｔ15）設a, b∈r, |a－b|>2, 則關於實數x的不等式的解集是 .
【解題指南】利用絕對值不等式的基本知識表示數軸上某點到a，b的距離之和即可得解.
【解析】函式的值域為：.
所以，不等式的解集為r。
【答案】 r.
4.（2013·江西高考理科·ｔ15）在實數範圍內，不等式的解集為
【解題指南】根據絕對值的意義去絕對值符號求解.
【解析】由絕對值的意義，等價於，即
，即.【答案】.
5. （2013·重慶高考理科·ｔ16）若關於實數的不等式無解，則實數的取值範圍是
【解題指南】 利用絕對值不等式的性質進行求解.
【解析】不等式無解，即
因為,所以
【答案】.
6. （2013·湖北高考理科·ｔ13）設x，y，z∈r，且滿足：x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,則x+y+z=
【解題指南】根據柯西不等式等號成立的條件，求出相應的x，y，z的值。
【解析】由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32），當且僅當時取等號，此時y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=，所以，，，x+y+z=
【答案】.
7. （2013·湖南高考理科·ｔ10）已知a,b,c∈r,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為 .
【解題指南】本題是利用柯西不等式求最值
【解析】因為，所以
【答案】 12.
三、解答題
8.（2013·遼寧高考文科·ｔ24）與（2013·遼寧高考理科·ｔ24）相同
已知函式
當時，求不等式的解集；
已知關於的不等式的解集為，求的值。
【解題指南】利用絕對值的意義，去掉絕對值號，轉化為整式不等式問題，是常用的化歸方法.
【解析】當時，
當時，由；
當時，由，不成立；
當時，由；
綜上，所以，當時，不等式的解集為記則
由得，即
由已知不等式的解集為
亦即的解集為
所以解得24.
9.（2013·新課標ⅰ高考文科·ｔ24）與（2013·新課標ⅰ高考理科·ｔ24）相同
已知函式,
（ⅰ）當時，求不等式的解集；
（ⅱ）設,且當)時，,求的取值範圍.
【解析】當時，不等式化為.
設函式，則
其圖象如圖所示，
從圖象可知，當且僅當時，.所以原不等式的解集是.
（ⅱ）當時，.
不等式化為.
所以對都成立，故，即.
從而的取值範圍為
10. （2013·湖南高考理科·ｔ20）在平面直角座標系xoy中,將從點m出發沿縱、橫方向到達點n的任一路徑稱為m到n的一條「l路徑」.如圖所示的路徑mm1m2m3n與路徑mn1n都是m到n的「l路徑」.
某地有三個新建的居民區,分別位於平面xoy內三點a(3,20),b(-10,0),c(14,0)處.現計畫在x軸上方區域(包含x軸)內的某一點p處修建乙個文化中心.
(1)寫出點p到居民區a的「l路徑」長度最小值的表示式(不要求證明).
(2)若以原點o為圓心,半徑為1的圓的內部是保護區,「l路徑」不能進入保護區,請確定點p的位置,使其到三個居民區的「l路徑」長度值和最小.
【解題指南】(1)本題必須根據題目中圖的提示弄清「l路徑」是由直線段構成,所以只能用絕對值來表示.
(2)先寫出點p到三個居民區的「l路徑」,則點p到三個居民區的「l路徑」長度值和的最小值為三個「l路徑」的最小值之和,再利用絕對值知識去處理.
【解析】設點p的座標為(x,y),
(1)點p到居民區a的「l路徑」長度最小值為|x-3|+|y-20|,x∈r,y∈[0,+∞).
(2)由題意知,點p到三個居民區的「l路徑」長度之和的最小值為點p分別到三個居民區的「l路徑」長度最小值之和(記為d)的最小值.
①當y≥1時,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,
因為d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|, (*)
當且僅當x=3時,不等式(*)中的等號成立,
又因為|x+10|+|x-14|≥24. (**)
當且僅當x∈[-10,14]時,不等式(**)中的等號成立.
所以d1(x)≥24,當且僅當x=3時,等號成立,
d2(y)=2y+|y-20|≥21,當且僅當y=1時,等號成立.故點p的座標為(3,1)時,p到三個居民區的「l路徑」長度之和最小,且最小值為45.
②當0≤y≤1時,由於「l路徑」不能進入保護區,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.
此時,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.
由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,當且僅當x=3,y=1時等號成立.
綜上所述,在點p(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個居民區的「l路徑」長度之和最小.
11.（2013·安徽高考理科·ｔ20）
設函式，證明：
（1）對每個，存在唯一的，滿足；
（2）對任意，由（1）中構成的數列滿足。
【解題指南】 （1）利用導數證明在內單調遞增，證明在內有零點；（2）利用（1）得的遞減函式，聯立與得的關係式，適當放縮證明。
【解析】（1）對每個，當x>0時，內單調遞增，由於，當，
又=，所以存在唯一的滿足。
（2）當x>0時，，故
由內單調遞增知，為單調遞減數列，從而對任意，，對任意，由於
式減去式並移項，利用得
，因此，對任意，都有。
12.（2013·福建高考理科·ｔ21）設不等式的解集為a,且
（ⅰ）求的值 （ⅱ）求函式的最小值
【解析】（ⅰ）因為，且，所以，且
解得，又因為，所以
（ⅱ）因為
當且僅當(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2時取到等號,所以f(x)的最小值為3.
13.. （2013·新課標全國ⅱ高考文科·ｔ24）與（2013·新課標全國ⅱ高考理科·ｔ24）相同
設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，證明：
（1）（2）
【解題指南】(1)將兩邊平方，化簡整理，借助不等式的性質，即得結論.
(2) 證，也即證
可分別證然後相加即得.
【解析】（1）由得
由題設得即
所以，即當且僅當「」時等號成立。
（2）因為
當且僅當「」時等號成立.
故，即所以.
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