習題十10-1 盧瑟福實驗證明：兩個原子核之間的距離小到m時，它們之間的斥力仍遵守庫侖定律。已知金原子核中有79個質子，粒子中有2個質子，每個質子的帶電量為，粒子的質量為6.
68kg。當粒子與金原子核相距6.9m時，試求：
(1)粒子所受的力；(2)粒子的加速度。
[解] (1)粒子電量2e，金核電量為79e。粒子所受的庫侖力為
(2)粒子的加速度
10-2 如圖所示，真空中一長為l的均勻帶電細直杆，總電量為q，試求在直杆延長線上到杆的一端距離為d的點p的電場強度。
[解] 建立如圖所示座標系ox，在帶電直導線上距o點為x處取電荷元，它在p點產生的電場強度為
則整個帶電直導線在p點產生的電場強度為
故10-3 兩根相同均勻帶電細棒，長為l，電荷線密度為，沿同一直線放置，兩細棒間最近距離也是l，如圖所示。設棒上的電荷不能自由移動，試求兩棒間的靜電相互作用力。
[解一] 先按左棒為場源電荷，而右棒為受力電荷。計算左棒場強再求右棒所受電場力。
建立如圖所示座標系，在距o點為x處取微元，它在距o點處產生的場強為
因此左棒在處產生的場強為
在處取電荷元，它受到的左棒的電場力為
右棒受的總電場力為
[解二] 求電荷元與的庫侖力疊加。在兩帶電細棒上各取一微元、，它們之間的距離為，則受的庫侖力為
f方向為x正向，左棒受右棒庫侖力
10-4 用絕緣細線彎成的半圓環，半徑為r，其上均勻地帶有正電荷q，試求圓心處點o的場強。
[解] 將半圓環分成無窮多小段，取一小段dl，帶電量
dq在o點的場強
從對稱性分析，y方向的場強相互抵消，只存在x方向的場強
方向沿x軸正方向
10-5 如圖所示，一絕緣細棒彎成半徑為r的半圓形，其上半段均勻帶有電量q，下半段均勻帶有電量-q。求半圓中心點o處的電場強度e。
[解] 上半部產生的場強
將上半部分成無窮多小段，取其中任一小段dl
(所帶電量)
在o點產生的場強方向如圖所示
下半部產生的場強
以x軸為對稱軸取跟dl對稱的一小段(所帶電量)
在o點產生的場強方向如圖所示
根據對稱性，在x方向的合場強相互抵消為0，只存在y方向的場強分量
總場強10-6 如圖所示，一半徑為r的無限長半圓柱面形薄筒，均勻帶電，單位長度上的帶電量為，試求圓柱面軸線上一點的電場強度e。
[解]對應的無限長直線單位長帶的電量為
它在軸線o產生的場強的大小為
(見27頁例1)
因對稱性成對抵消
10-7 一半徑為r、長度為l的均勻帶電圓柱面，總電量為q。試求端麵處軸線上點p的場強。
[解] 取如圖所示的座標，在圓柱上取寬為dz的圓環，其上帶電量為，由例題3知，該圓環在軸線上任一點p產生的電場強度的大小為
整個圓柱形薄片在p點產生的電場強度的大小為
e方向 q>0時沿z軸正方向，q<0時沿z軸負方向。
10-8 一半徑為r的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為，求球心點o處的場強。
[解] 將半球面分成無限多個圓環，取一圓環半徑為r，到球心距離為x，所帶電量絕對值。
在o點產生的場強(利用圓環軸線場強公式)
帶電半球殼在o點的總場強
由於，，
所以 方向沿x軸負向
10-9 一面電荷密度為的無限大平面，在距平面am遠處的一點p的場強大小的一半是由平面上的乙個半徑為r的圓 (其軸線過點p)面積範圍內的電荷所產生的。試求該圓半徑的大小。
[解] 由於無限大帶電平面產生場強為
所以半徑為r的圓內電荷在p點產生場強為
由例4知，半徑為r的圓盤，在p電產生的場強為因此即
10-10 如圖所示，一厚度為b的無限大帶電平板，其體電荷密度為(0≤x≤b)，式中k為正常量。求：(1)平板外兩側任一點和處的場強大小；(2)平板內任一點p處的電場強度； (3)場強為零的點在何處?
[解] (1)過點作一圓柱體穿過無限大帶電平板，由高斯定理
即 所以
因此平板外一點的場強與距平板的距離無關，
(2)板內(即0≤x≤b區域)
(3)若電場強度為0，則
此時，此即為場強為0的點。
10-1l 一半無限長的均勻帶電直線，線電荷密度為。試證明：在通過帶電直線端點與直線垂直的平面上，任一點的電場強度 e的方向都與這直線成45°角。
[解] 如圖選擇直角座標系，在棒上取電荷元
它在過棒端的垂直面上任意點貢獻場強為
由於且所以總場強的分量為
它與負y方向的夾角是
10-12 一帶電細線彎成半徑為r的半圓形，線電荷密度，式中為一常量，為半徑r與x軸所成的夾角，如圖所示。試求環心o處的電場強度。
[解] 取電荷元
它在座標原點o產生的電場強度
沿座標軸的分量為
半個細圓環產生的電場強度分量為
方向沿y軸負向。
10-13 如圖所示，一無限長圓柱面，其面電荷密度為，為半徑r與x軸之間的夾角，試求圓柱面軸線上一點的場強。
[解] 在圓柱面上取一窄條dl，窄條可看成無限長帶電直線。設窄條的電荷線密度為，圓柱的半徑r，窄條dl在軸線上任一點o的電場強度為
方向如圖
窄條dl的電荷線密度即
因此積分得到方向沿x軸負向 所以
10-14 半徑為r、線電荷密度為的均勻帶電圓環，在其軸線上放一長為l、線電荷密度為的均勻帶電直線，該線段的一端處於圓心處，如圖所示。求該直線段受到的電場力。
[解] 在細棒上距o點x處取一線元dx，所帶電量為
均勻帶電圓環在dx處產生的場強為
dq在帶電圓環的電場中所受到的電場力的大小為
所以整個帶電細棒所受的電場力為
方向沿x正方向
10-15 真空中一半徑為r的圓平面，在通過圓心o與平面垂直的軸線上一點p處，有一電量為q的電荷，＝h。求通過圓平面的電通量。
[解] 如圖，在以p點為球心，為半徑的球面上剖出乙個球冠，通過圓面的電量等於通過球冠面的電通量。球冠面的表面積為，x為球冠高，r為球面半徑
通過球面單位面積的電通量為
10-16 有一邊長為a的正方形平面，在其中心垂線上距中心點o為處，有一電量為q的正點電荷，如圖所示。求通過該平面的電通量是多少?
[解] 構造正立方體使q為中心，a為邊長。由高斯定理知，通過此立方體表面電通量為
又由於對稱性，通過此正立方體六個正方形面的電通量相等。所以通過每一面的電通量為
10-17 a、b為真空中兩個平行的「無限大」均勻帶電平面，已知兩平面間的電場強度為e，兩平面外側電場強度大小都是，方向如圖。求兩平面a、b上的電荷和。
[解] 無限大平面產生的場強為
則解得10-18 一半徑為r的帶電球體，其體電荷密度分布為
(r≤r)
r>r)
a為常量。試求球內、外的場強分布。
[解] 在帶電球體內外分別做與之同心的高斯球面。
應用高斯定理有
q為高斯球面內所包圍的電量。設距球心r處厚度為dr的薄球殼所帶電量為dq
r≤r時
解得 (r≤r) (或)
r>r時高斯麵內包圍的是帶電體的總電量q
應用高斯定理
(r>r或)
當a>0時，場強方向均徑向向外；當a<0時，場強方向均指向球心。
l0-19 一半徑為r的帶電球體，其體電荷密度分布為
r≤r)
r>r)
試求：(1)帶電球體的總電量；(2)球內外各點的場強；(3)球內外各點的電勢。
[解] (1)因為電荷分布具有球對稱性，把球體分成許多個薄球殼，其中任一球殼厚度為dr，體積為。在此球殼內電荷可看成均勻分布。此球殼所帶電量為
則總電量為
(2)在球內作半徑為r的高斯球面，按高斯定理有
得 (r≤r)
在球外作半徑為r的高斯球面，按高斯定理有
得 (r>r)
(3)球內電勢，設無窮遠處為零勢能點
(r球外電勢
10-20 有一帶電球殼，內、外半徑分別為和，體電荷密度，在球心處有一點電荷q，試證明：當a＝時，球殼區域內([解] 以同心球面為高斯面，電通量為
當時與r無關。因此得證。
10-21 設電荷體密度沿x方向按余弦規律分布在整個空間，式中為體電荷密度，為其幅值。試求空間的場強分布。
[解] 由於電荷體密度與y、z無關，即在任何平行y-z平面的平面上電荷均勻分布，所以場強只有x分量。沿x軸方向電荷是週期性分布，所以在與過圓點的y-z平面相對稱的兩平行平面上場強數值都一樣。過座標為+x及-x的兩點作平行於y-z平面的面元。
用平行於x軸的側面將其封閉構成閉合高斯面，它的電通量為
而根據高斯定理可得
方向由的正負確定
10-22 如圖所示，在xoy平面內有與y軸平行、位於和處的兩條無限長平行均勻帶電直線，電荷線密度分別為和。求z軸上任一點的電場強度。
[解] 無限長帶電直線**外任一點的電場強度
所以 p點的場強
由對稱性知合場強的z方向分量為零，x方向分量
而 所以方向指向x軸負方向
10-23 如圖所示，在半徑為r，體電荷密度為的均勻帶電球體內點處放乙個點電荷q。試求：點o、p、n、m處的場強 (、o、p、n、m在一條直線上)。
[解] 由電場疊加原理
10-24 一球體內均勻分布著體電荷密度為的正電荷，若保持電荷分布不變，在該球體內挖去半徑為r的乙個小球體，球心為，兩球心間距離，如圖所示。求：(1)在球形空腔內，球心處的電場強度。
(2)在球體內點p處的電場強度e。設、o、p三點在同一直徑上，且=d。
[解] 在空腔內分別填上密度為的電荷和密度為的電荷。
(1)處的場強是密度為的大球和的小球所產生的場強的疊加。
大球產生場強：
在球體內做半徑為d的同心高斯球面，應用高斯定理
而小球產生場強由於對稱性為0
因此點的場強
(2)p點的場強也是兩球場強的疊加。
同理大球產生的場強
小球產生的場強
合場強10-25 試用靜電場的環路定理證明，電場線為一系列不均勻分布的平行直線(如圖所示)的靜電場不存在。
第十章習題答案
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